Question

2．如图所示，粒子源O可以源源不断地产生的初速度为零的正离子同位素，即这些正离子带相同的电量q，质量却不相同．所有的正离子先被一个电压为U₀的匀强加速电场加速，再从两板中央垂直射入一个匀强偏转电场，已知此偏转电场两板间距为d，板间电压为6U₀，偏转后通过下极板上的小孔P离开电场．经过一段匀速直线运动后，正离子从Q点垂直于边界AB进入一正方形的区域匀强磁场（磁感应强度为B，方向垂直纸面向内）．
（1）当正离子从P点离开偏转电场时，求P点和极板左端间的距离L以及此时的速度偏转角φ．
（2）求质量为m的离子在磁场中做圆周运动的半径R；
（3）若质量为4m的离子垂直打在磁场边界AD的中点处，求能打在边界AD上的正离子的质量范围．

Answer 1

分析 （1）离子在加速电场中加速，在偏转电场中做类平抛运动，应用动能定律与类平抛运动规律可以求出距离与偏角．
（2）离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出离子的轨道半径．
（3）作出离子的运动轨迹，由几何知识求出离子的轨道半径，然后求出离子的临界质量，然后答题．

解答 解：（1）在加速电场中，由动能定理得：qU₀=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
在偏转电场中，离子最类平抛运动，L=v₀t，$\frac{d}{2}$=$\frac{1}{2}$at²，
加速度：a=$\frac{6q{U}_{0}}{md}$，解得，PM间的距离：L=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d，
速度偏角正切值：tanφ=$\frac{at}{{v}_{0}}$，解得：tanφ=$\sqrt{3}$，则φ=60°；
（2）在加速电场中，由动能定理得：qU₀=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，
离子进入磁场时的速度为v，v=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$=2v₀，
离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$；
（3）由题意可知，质量为4m的正离子在磁场中运动轨迹的圆心恰好在A点，设此时的轨道半径为R₀；
临界状态1：质量为m₁的正离子刚好打在A点，如图所示：

由几何知识可得：R₁=$\frac{1}{2}$R₀，由R=$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$可知：$\frac{{R}_{0}}{{R}_{1}}$=$\sqrt{\frac{4m}{{m}_{1}}}$，解得：m₁=m；
临界状态2：质量为m₂的正离子刚好打在D点，此时轨道半径为R₂，
由几何知识得：R₂²=（2R₀）²+（R₂-R₀）²，解得：R₂=$\frac{5}{2}$R₀，则：$\frac{{R}_{0}}{{R}_{2}}$=$\sqrt{\frac{4m}{{m}_{2}}}$，m₂=25m，
则能打在AD上的正离子质量范围为：m～25m；
答：（1）P点和极板左端间的距离L为$\frac{\sqrt{3}}{3}$d，此时的速度偏转角φ为60°．
（2）质量为m的离子在磁场中做圆周运动的半径R为$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$；
（3）能打在边界AD上的正离子的质量范围是m～25m．

点评 本题考查了求距离、离子的速度偏角、离子轨道半径、离子质量问题，分析清楚粒子运动过程，应用牛顿第二定律、类平抛运动规律即可正确解题，解题时注意几何知识的应用．