Question

19．如图所示，竖直放置的金属框架足够长，两竖直导轨的距离为L，定值电阻的阻值为R，电容器的电容为C，其耐压值足够大．开关处于闭合状态，空间存在垂直框架平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量为m、电阻为r的金属杆当静止开始下落，在下落过程中金属杆与框架接触良好，其他电阻不计，重力加速度为g．则：
（1）金属杆速度达到最大值时为多大；
（2）金属杆速度达到最大值后，断开开关S，金属杆再一下落高度为h时，速度为多大．

Answer 1

分析 （1）形状闭合时，金属棒从静止开始下落，先做加速度减小的变加速运动，后做匀速运动，达到稳定状态，根据重力的功率等于电功率列式求最大速度．
（2）金属杆达到最大速度后，将开关突然断开时，电容器将要充电，电路中充电电流，ab棒受到安培力，安培力的瞬时表达式F=BiL，i=$\frac{△Q}{△t}$，又U=$\frac{R}{R+r}$E=BLv，再结合牛顿第二定律求得瞬时加速度，即可判断棒的运动性质．再由运动学公式求速度．

解答 解：（1）金属杆速度达到最大值时做匀速运动．由 E=BLv，I=$\frac{E}{R+r}$，F_安=BIL得安培力为：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
根据平衡条件得 F_安=mg
解得最大速度为 v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）金属杆速度达到最大值后，断开开关S瞬间，棒电流为零，棒将加速下降，产生的感应电动势增大，对电容器充电，设充电的瞬时电流为i．
则 i=$\frac{△Q}{△t}$，又Q=CU=C$\frac{R}{R+r}$E=$\frac{CRBLv}{R+r}$
可得 i=$\frac{CRBL}{R+r}$•$\frac{△v}{△t}$=$\frac{CRBL}{R+r}$a，a是瞬时加速度．
根据牛顿第二定律得：mg-BiL=ma
解得：a=$\frac{mg（R+r）}{CR{B}^{2}{L}^{2}+m（R+r）}$，可知棒做匀加速运动
由v^′2-v²=2ah得金属杆再一下落高度为h时速度为：v′=$\sqrt{{v}^{2}+2ah}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}{g}^{2}（R+r）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{2mgh（R+r）}{CR{B}^{2}{L}^{2}+m（R+r）}}$
答：（1）金属杆速度达到最大值时为$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）金属杆再一下落高度为h时速度为$\sqrt{\frac{{m}^{2}{g}^{2}（R+r）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{2mgh（R+r）}{CR{B}^{2}{L}^{2}+m（R+r）}}$．

点评 本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，关键要会推导加速度的表达式，通过分析棒的受力情况，确定其运动情况．