Question

11．中国“嫦娥三号”绕月探测卫星完成近月制动后，成功进入周期T=128min、高度h=200km的近月圆轨道．
（1）已知月球半径约为R=1.8×10⁶m，求卫星在高度200km的圆轨道上运行的速度v和轨道处的重力加速度g．（结果保留两位有效数字）
（2）“嫦娥三号”轨道的近月点到月球球心的距离r_近=1988km，远月点到月球球心的距离r_远=1990km．张明、王玉两同学利用不同方法分别计算出卫星经过近月点时速度v_近、近月点到月球球心的距离r_近和经过远月点时速度v_远、远月点到月球球心的距离r_远的关系．
张明的方法：
$\frac{m{{v}_{近}}^{2}}{{r}_{近}}$=$\frac{GMm}{{{r}_{近}}^{2}}$                $\frac{m{{v}_{远}}^{2}}{{r}_{远}}$=$\frac{GMm}{{{r}_{远}}^{2}}$
得v_近²-v_远²=$\frac{GM}{{r}_{近}{r}_{远}}$（r_远-r_近）=g（r_远-r_近）
王玉的方法：
$\frac{1}{2}$mv_近²-$\frac{1}{2}$mv_远²=mg（r_远-r_近）
得v_近²-v_远²=2g（r_远-r_近）
请分别对这两个同学的计算方法作一评价，并估算从远月点到近月点卫星动能的增量．（卫星质量为3780kg，结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）“嫦娥一号”绕月做匀速圆周运动，由公$v=\frac{2π（R+h）}{T}$求速度v．由重力提供向心力，由牛顿第二定律列式求出g；
（2）卫星绕月球做椭圆运动时，在远月点和近月点做的不是匀速圆周运动，不能由万有引力等于向心力求速度．可根据动能定理求动能的增量．

解答 解：（1）由v=$\frac{2π（R+h）}{T}$…①
得v=$\frac{2×3.14×2×1{0}^{6}}{128×60}$≈1.6×10³m/s  
由重力提供向心力有mg=$\frac{m{v}^{2}}{R+h}$…②
得：g=$\frac{{v}^{2}}{R+h}$=$\frac{（1.6×1{0}^{3}）^{2}}{2×1{0}^{6}}$≈1.3m/s² 
（2）张明的思路方法错误，王玉的方法正确． 
卫星动能增量：△E_k≈mg（r_远-r_近）    ③
解得：△E_k=3780×1.3×（1990-1988）×10³J=9.8×10⁶J
答：（1）卫星在高度200km的圆轨道上运行的速度v为$1.6×1{0}_{\;}^{3}m/s$和轨道处的重力加速度g为$1.3m/{s}_{\;}^{2}$
（2）从远月点到近月点卫星动能的增量为$9.8×1{0}_{\;}^{6}J$

点评 本题是卫星问题，建立物理模型，抓住万有引力充当向心力是关键，根据重力等于向心力可以求解做圆周运动的卫星轨道处的重力加速度，卫星在椭圆轨道上运动时万有引力不等于向心力．