Question

15．探月飞船“嫦娥三号”已成功在月球表面着陆，已知月球的质量约为地球质量的$\frac{1}{81}$，月球的半径约为地球半径的$\frac{1}{4}$，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，在地面上的发射速度为第一宇宙速度的$\sqrt{2}$倍时，物体将脱离地球的引力．
（1）求月球的第一宇宙速度．
（2）类比法是科学研究的重要方法之一，如果把月球与地球相类比的话，则返回式飞船“嫦娥三号”在月球表面的起飞速度至少多大才能离开月球返回地球？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力得出第一宇宙速度表达式，根据第一宇宙速度的表达式求出月球的第一宇宙速度和地球第一宇宙速度的关系，从而求出月球的第一宇宙速度大小．
（2）根据第二宇宙速度v₂与第一宇宙速度v₁的关系求解．

解答 解：（1）卫星在天体表面附近运行的速度称为第一宇宙速度，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得第一宇宙速度为：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
即月球的第一宇宙速度为：${v}_{月}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{月}^{\;}}{{R}_{月}^{\;}}}=\sqrt{\frac{G×\frac{1}{81}{M}_{地}^{\;}}{\frac{1}{4}{R}_{地}^{\;}}}=\frac{2}{9}$$\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}=\frac{2}{9}×7.9km/s=1.76km/s$
（2）类比地球，“嫦娥三号”要返回地球，在月面起飞速度至少为：
${v}_{2}^{\;}=\sqrt{2}{v}_{1}^{\;}=\sqrt{2}×1.76km/s=2.49km/s$
答：（1）月球的第一宇宙速度1.76km/s．
（2）返回式飞船“嫦娥三号”在月球表面的起飞速度至少2.49km/s才能离开月球返回地球

点评 要求解一个物理量大小，我们应该把这个物理量先表示出来，再根据已知量进行求解．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．