Question

4．如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠AOB=60°，OA：OB=2：3，将质量为m的小球自O点水平向右抛出，其初动能为E_k0，小球在运动过程中恰好通过A点．现使小球带上电量为q的正电荷，同时加一匀强电场，电场方向与OAB所在平面平行，将小球以E_k0的初动能自O点朝某一方向抛出，该小球再次通过了A点，且到达A点时的动能E_kA?=3E_k0；若将该小球以E_k0的初动能从O点朝另一方向抛出，小球恰好通过B点，且到达B点时的动能E_kB=7E_k0，设重力加速度大小为g，求：
（1）无电场时，小球到达A点时的动能E_kA=？
（2）所加匀强电场的电场强度．

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，设初速度v₀．初动能E_K0，从O到A的运动时间为t，将该运动分解即可，根据类平破运动的规律求出小球到达A点时的动能；
（2）加电场后，同样使用动能定理与功能关系对小球到达A与到达B的过程分别列出公式即可．

解答 解：（1）设小球的初速度为v₀，OA长度为d，从O点运动到A点的时间为t，
根据平抛运动规律可写出
dsin60°=v₀t，dcos60°=$\frac{1}{2}$gt²，
小球在A点竖直分速度v_y=gt
由以上三式可求出v_y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀，
所以E_kA=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$mv_y²=$\frac{7}{3}$E_k0
（2）加电场后小球从O点到A点，电场力做功W_电A=E_kA’-E_kA=3E_k0-$\frac{7}{3}$E_k0=$\frac{2}{3}$E_k0
从O点到B点，设电场力做功为W_电B，根据动能定理有：E_kB-E_k0=W_电B+$\frac{3}{2}$mgd①
无电场时根据动能定理有：E_kA-E_k0=$\frac{1}{2}$mgd=$\frac{4}{3}$E_k0，可以算出mgd=$\frac{8}{3}$E_k0②，
将②代入①，可以求出W_电B=2E_k0
设在OB线上有一点C，其电势与A点等高，设OC=x，
则有$\frac{x}{\frac{3d}{2}}=\frac{{W}_{电A}^{\;}}{{W}_{电B}^{\;}}=\frac{1}{3}$，可解出x=$\frac{1}{2}$d
电场强度的方向垂直于AC连线，即沿OB方向，竖直向下．
小球从O到A电场力做的功W_电A=qE$\frac{1}{2}$d=$\frac{2}{3}$E_k0③
由②、③两式可解出E=$\frac{mg}{2q}$
答：（1）无电场时，小球到达A点时的动能E_kA=$\frac{7}{3}{E}_{k0}^{\;}$
（2）所加匀强电场的电场强度$\frac{mg}{2q}$．

点评 本题是平抛运动与类平抛运动的组合，关键是运用动能定理与功能关系研究小球到达A与到达B的过程，再运用电场力做功的基本规律解题．