Question

13．半径为R的光滑半圆形轨道固定在水平地面上，一个质量为m的小球以某一初速度从A点冲上该轨道后，恰能通过该轨道的最高点B，最终落到水平地面上的C点，如图所示．
试求：（1）小球通过轨道起点A时的初速度v_o的大小
（2）小球到达AB圆弧中点D时对轨道的压力F的大小
（3）小球到达落点C时的速度vc的大小．

Answer 1

分析 （1）小球在B点受重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式得到小球在B点的速度，然后结合A到B的机械能守恒即可求出小球的初速度；
（2）先求出小球到达D点的速度，然后根据向心加速度的公式列式求解即可；
（3）从轨道口B处水平飞出后，小球做平抛运动，由平抛运动的规律可以求得小球到达落点C时的速度vc的大小．

解答 解：（1）小球恰好通过B点：$mg=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
得：${v}_{B}=\sqrt{gR}$
由A到B应用动能定理（或机械能守恒）
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据：${v}_{0}=\sqrt{5gR}$
（2）A到D的过程中，根据动能定理：$-mgR=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{D}=\sqrt{3gR}$
在D点受力分析：$F=\frac{m{v}_{D}^{2}}{R}=3mg$
根据牛顿第三定律，小球到达AB圆弧中点D时对轨道的压力F的大小也是3mg．
（3）由于A、C等高，因此这个过程中重力不做功
根据动能定理：$0=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以${v}_{C}={v}_{0}=\sqrt{5gR}$
答：（1）小球通过轨道起点A时的初速度v_o的大小是$\sqrt{5gR}$；
（2）小球到达AB圆弧中点D时对轨道的压力F的大小是3mg；
（3）小球到达落点C时的速度vc的大小是$\sqrt{5gR}$．

点评 本题是牛顿第二定律、向心力公式、平抛运动规律的综合运用问题，关键理清小球的运动情况，然后分阶段列式求解．