Question

20．如图，边长为L=10cm的正方形线圈abcd共100匝，处在磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，线圈的电阻r=1Ω，线圈垂直于磁感线的对称轴OO′以ω=2πran/s角速度匀速转动，已知外电路的电阻R=4Ω，从线圈平面与磁感线平行处记时．求：
（1）转动过程中感应电动势的最大值；
（2）转动过程中，交流电压表的示数；
（3）写出电流的瞬时表达式；
（4）转过60°角时的瞬时电流值；
（5）转60°角的过程中产生的平均感应电动势大小；
（6）转过90°过程中，电阻R的电量q；
（7）一个周期内，通过R的热量Q_R；
（8）一个周期内外力做的功．

Answer 1

分析 （1）根据最大值公式可求得最大值；
（2）根据最大值和有效值之间的关系可求出有效值；
（3）根据从图示位置开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式e=NBSωsinωt；
（4）求出电动势的瞬时值，再由欧姆定律求出瞬时电流值；
（5）根据法拉第电磁感应定律可求得平均电动势；
（6）根据平均电动势及欧姆定律可求得电量；
（7）根据电压表两端的电压和功率公式可求得功率值；
（8）外力对线圈做功的功率等于总电阻产生热量；

解答 解：（1）角速度ω=2πrad/s
感应电动势的最大值E_m=nBSω=100×0.5×0.01×2π=πV，
（2）电动势的有效值E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}π}{2}$V；
电压表的示数U=$\frac{E}{R+r}R$=$\frac{\frac{\sqrt{2}π}{2}}{4+1}×4$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$πV
（3）因为从平行时开始计时，所以感应电动势按余弦规律变化，
e=E_mcosωt=πcos2πt V．
（4）转过60°时的瞬时值e=πcos60°=$\frac{π}{2}$V；
则电流的瞬时值为：i=$\frac{e}{R+r}$=$\frac{\frac{π}{2}}{5}$=$\frac{π}{10}$A；
（5）转过60°时，磁通量的变化量为：
△Φ=BSsin60°=$\frac{\sqrt{3}BS}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×0.5×0.01=0.0069Wb；
则平均电动势$\overline{E}$=$\frac{N△Φ}{△t}$=$\frac{100×0.0069}{\frac{1}{6}×\frac{2π}{2π}}$=4.14V；
（6）转过90°时的电量q=It=N$\frac{BS}{△t（R+r）}△t$=$\frac{NBS}{R+r}$=$\frac{100×0.5×0.01}{4+1}$=0.1C；
（7）一个周期内，通过R的热量Q_热，
一个周期内，通过R的热量Q_热=$\frac{{U}^{2}}{R}$T=$\frac{（\frac{2\sqrt{2}}{5}π）^{2}}{4}$×$\frac{2π}{2π}$=0.8J；
（8）根据能量关系可知，一个周期内外力做的功等于电路中产生的电能；
故W=Q=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$T=$\frac{（\frac{\sqrt{2}π}{2}）^{2}}{5}$$\frac{2π}{2π}$=2J； 
答：（1）转动过程中感应电动势的最大值πV；
（2）转动过程中，交流电压表的示数为$\frac{2\sqrt{2}}{5}$π；
（3）写出电流的瞬时表达式e=πcos2πt V．
（4）转过60°角时的瞬时电流值$\frac{π}{10}$A；
（5）转60°角的过程中产生的平均感应电动势大小为4.14V；
（6）转过90°过程中，电阻R的电量q为0.1C；
（7）一个周期内，通过R的热量Q_R为0.8J；
（8）一个周期内外力做的功为2J．

点评 本题全面考查了交流电中的计算问题，要注意明确交流电的“四值”的计算方法，明确求解功率、电能和电表示数时均为有效值；求解电量时用平均值，并且能根据最大值和起始时刻求出瞬时表达式．