Question

4．如图甲所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固定在倾角θ=37°的绝缘斜面上，两导轨间距L=1m，导轨的电阻可忽略．M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量m=1kg、电阻r=0.2Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好．整套装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．自图示位置起，杆ab受到大小为F方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，力F随杆ab运动速度v变化的图象如图乙所示，棒由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大．g取10m/s²，sin 37°=0.6．求：
（1）试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，请写出推理过程；
（2）电阻R的阻值；
（3）金属杆ab自静止开始下滑通过位移x=1m的过程中，拉力的平均功率为6.6W，则在此过程中回路产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）对ab进行受力分析，然后作出受力示意图；由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由牛顿第二定律求出加速度；然后判断出杆的运动特点；
（2）根据法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、结合牛顿第二定律表达出加速度的表达式即可求出R的电阻值．
（3）金属杆向下运动的过程中重力、拉力对杆做正功，安培力做负功，由功能关系即可求出．

解答 解：（1）金属杆做匀加速运动（或金属杆做初速度为零的匀加速运动）．
通过R的电流为：I=$\frac{E}{R+r}$，E=BLv     
所以有：I=$\frac{BLv}{R+r}$
因为B、L、R、r为定值，所以I与v成正比．又电流I随时间均匀增大，故杆的速度v也随时间均匀增大，即杆的加速度为恒量，故金属杆做匀加速运动
（2）对杆：根据牛顿第二定律有：F+mgsin θ-F_安=ma
由图可知：F=0.5v+2
F_安=BIL=BL$\frac{BLv}{R+r}$=$\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R+r}$
代入得：2+0.5v+mgsin θ-$\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R+r}$=ma
因为v为变量，a为定值．所以a与v无关，必有：
ma=2+mgsin θ； 0.5v-$\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R+r}$=0
解得：a=8m/s²，R=0.3Ω
（3）设拉力的平均功率为P，由动能定理得：$mgxsinθ+Pt-{W_{克安}}=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
又：W_克安=Q_电
2ax=v²
$x=\frac{1}{2}a{t^2}$
得：t=0.5s，v=4m/s，Q_电=1.3J
答：（1）金属杆ab在匀强磁场中做匀加速直线运动；
（2）电阻R的阻值是0.3Ω；
（3）金属杆ab自静止开始下滑通过位移x=1m的过程中，拉力的平均功率为6.6W，则在此过程中回路产生的焦耳热是1.3J．

点评 本题考查了作受力示意图、求电流与加速度，分析清楚运动过程、正确受力分析、应用E=BLv、欧姆定律、安培力公式、牛顿第二定律即可正确解题．