Question

14．如图所示，一救生艇停在平静的水面上，艇前部上端有一标记P，在其正前方A处有一浮标，测得PA连线与竖直方向的夹角为53°，潜水员下潜至水下B点时，看到P刚好被浮标挡住，且恰好看到艇尾端后方水面上的景物，已知水的折射率n=$\frac{4}{3}$，B点到艇尾部的水平距离L=6m，忽略救生艇的吃水深度．
（1）求光的在水中的传播速度的大小v；
（2）求B点到水面的竖直距离H；
（3）若潜水员从B点竖直上升至B′时（图中未标出），水面上方所有的景物都出现在顶角为2∠AB′D的圆锥里，求B′点到水面的竖直距离h．

Answer 1

分析 （1）已知水的折射率n=$\frac{4}{3}$，根据公式v=$\frac{c}{n}$求光的在水中的传播速度的大小v；
（2）由题意可作出光路图，由题意可知潜水员和艇尾部的连线与竖直方向夹角刚好为临界角，由几何知识可解B点到水面的竖直距离H；
（3）若潜水员从B点竖直上升至B′时，水面上方所有的景物都出现在顶角为2∠AB′D的圆锥里，∠AB′D等于临界角，由几何关系求B′点到水面的竖直距离h．

解答 解：（1）光的在水中的传播速度的大小为：
v=$\frac{c}{n}$=$\frac{3×1{0}^{8}}{\frac{4}{3}}$=2.25×10⁸m/s
（2）据题知，潜水员和艇尾部的连线与竖直方向夹角刚好等于临界角，则有：
sinθ=$\frac{1}{n}$=$\frac{3}{4}$
由几何知识可得：H=Lcotθ=L$\frac{\sqrt{1-si{n}^{2}θ}}{sinθ}$=2$\sqrt{7}$m
（3）若潜水员从B点竖直上升至B′时（图中未标出），水面上方所有的景物都出现在顶角为2∠AB′D的圆锥里，可知，∠AB′D等于临界角．
在A点，根据折射定律得：n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$
解得：sinθ₂=0.6
DA=Htanθ₂=H$\frac{sin{θ}_{2}}{\sqrt{1-si{n}^{2}{θ}_{2}}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{7}$m
由几何知识可得，B′点到水面的竖直距离为：h=DAcotθ=3.5m
答：（1）光的在水中的传播速度的大小v是2.25×10⁸m/s；
（2）B点到水面的竖直距离H是2$\sqrt{7}$m．
（3）B′点到水面的竖直距离为3.5m．

点评 本题以光的直线传播为基础，利用几何知识，研究光传播到两种介质的界面时发生的折射、全反射等现象和它们表现的规律，即光的反射和折射定律，难点是光的全反射及其应用．