Question

4．如图所示，可视为质点质量为m的小球，用长为L的细线悬挂于O点，在光滑的水平面上有一个质量为M的物体，其右侧是一个半径为R的光滑四分之一的圆弧，左端是一段长为$\frac{R}{2}$的粗糙水平面，在其左端A处放有一个质量也为M的弹性物块，物块与物体间有摩擦．现将小球拉起到与悬点O等高处由静止释放，与物块发生弹性碰撞后回摆到θ=60°角处才减停，同时物块恰能滑到物体右端最高点C处，试求小球与物块的质量之比和物体与物块间的动摩擦因数．

Answer 1

分析 小球向下摆动的过程中机械能守恒，由此求出小球与物块碰撞前的速度；同理求出小球在碰撞后的速度；小球与物块碰撞的过程中水平方向的动量守恒，机械能守恒，由此求出小球与物块之间的质量关系；物块在物体上运动的过程中水平方向的动量守恒，由此求出物块达到C点时的速度，然后结合功能关系即可求出物体与物块间的动摩擦因数．

解答 解：小球向下摆动的过程中机械能守恒，得：
$mgl=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{2gl}$
小球倍反弹后向上摆动的过程中机械能也守恒，得：
$mg\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得：${v}_{1}=\sqrt{gl}$
小球与物块碰撞的过程中水平方向的动量守恒，选取向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=-mv₁+Mv₂    ①
又由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$  ②
联立①②得：${v}_{1}=\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$，${v}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{M+m}$
联立各式得：M=（3+$2\sqrt{2}$）m；
所以小球与物块的质量之比是1：（3+$2\sqrt{2}$）；
物块在物体上运动的过程中水平方向的动量守恒，设物块达到C点时的速度为v₃，则根据动量守恒定律得：
Mv₂=（M+M）v₃
根据功能关系可得：
$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}•2M{v}_{3}^{2}+2MgR+μMg•\frac{R}{2}$
联立得：$μ=\frac{l}{R}（\frac{M-m}{M+m}）^{2}-4$
答：小球与物块的质量之比是1：（3+$2\sqrt{2}$）；物体与物块间的动摩擦因数是$\frac{l}{R}{（\frac{M-m}{M+m}）}^{2}-4$．

点评 该题属于多物体、多过程的动量守恒与功能关系的题目，涉及的过程多，物理量多而且物理量之间的关系复杂，在解答的过程中一定要准确把握每一个过程，使应用的公式一定与过程相对应．