Question

3．如图所示，一根弹性细绳自然长度为l，劲度系数为k，将其一端穿过一个光滑小孔O，（其在水平地面上的投影点为O′）系在一个可看成质点的质量为m的滑块A上，A放在水平面上．小孔O离绳子的固定端的竖直距离为l，离水平面的高度为h，（h$＜\frac{mg}{k}$），滑块A与水平地面间的最大静摩擦力为正压力的μ倍，重力加速度为g．
求（1）滑块静止在O点正下方O′处时，地面对滑块的支持力；
（2）当滑块静止在与O′点的距离为r处时，地面对滑块的摩擦力的大小；
（3）滑块可以保持静止状态的区域．

Answer 1

分析 对物体受力分析，根据共点力平衡，结合胡克定律求出地面对滑块的支持力．
抓住拉力在水平方向上的分力等于摩擦力的大小求出摩擦力的大小．
抓住滑块所受的最大静摩擦力，结合共点力平衡求出滑块离开O点正下方的距离．

解答 解：（1）滑块静止在O点正下方O′处时，F_N=mg-F_Tsinθ，
$sinθ=\frac{h}{\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}}$，
F_T=k△x=$k\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}$，
解得F_N=mg-kh．
（2）从几何关系看出：弹性细绳的伸长量为△x=$\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}$，弹性细绳对滑块A的拉力为F_T=k△x=$k\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}$
摩擦力f=F_Tcosθ，
$cosθ=\frac{r}{\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}}$，
解得f=kr．
（3）设A静止时离O′的距离为r，此位置处A将受到四个力的作用如图：
对F_T正交分解，由于处于平衡状态所以有：
竖直方向：F_N+F_Tsinθ=mg，
水平方向：F_Tcosθ=F_f
而F_T=k$\frac{h}{sinθ}$，
F_fmax=μF_N
所以有：$k\frac{h}{sinθ}cosθ=f$≤f_max=μ （mg-kh）
其中$\frac{h}{sinθ}cosθ=r$，
即r$≤\frac{μ（mg-kh）}{k}$．
答：（1）滑块静止在O点正下方O′处时，地面对滑块的支持力为mg-kh；
（2）当滑块静止在与O′点的距离为r处时，地面对滑块的摩擦力的大小为kr；
（3）滑块可以静止在以O’为圆心，$\frac{μ（mg-kh）}{k}$为半径的圆域内的任意位置．

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，运用共点力平衡，结合胡克定律和几何关系综合求解，难度中等．