Question

6．今年5月13日，“好奇号”火星探测器迎来了他两火星周年的纪念日，已知火星的半径为R，“好奇号”登陆火星前在火星表面绕火星做匀速圆周运动的周期为T，将地球和火星的公转均视为匀速圆周运动，火星到地球的最远距离约为最近距离的五倍，引力常量G，求：
（1）火星的质量M即平均密度ρ；
（2）火星年约相当于多少个地球年（可用根号表示）．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于向心力求出火星的质量，根据密度公式求出火星的密度
（2）求出几何关系求出火星和

解答 解：（1）探测器在火星表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得火星的质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
火星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）根据题意，火星到地球的最远距离约为最近距离的五倍，当火星到地球距离最远时，火星和地球位于太阳的两侧且在同一直径上；当火星和地球位于太阳的同侧且在同一半径上时距离最近，
假设地球和火星的最短距离为R′，则最远距离是5R′，火星的轨道半径3R′，地球的轨道半径为2R′
根据开普勒第三定律，$\frac{（3R′）_{\;}^{3}}{{T}_{火}^{2}}=\frac{（2R′）_{\;}^{3}}{{T}_{地}^{2}}$
${T}_{火}^{\;}=\sqrt{\frac{27}{8}}{T}_{地}^{\;}=\frac{3}{4}\sqrt{6}年$
答：（1）火星的质量M即平均密度ρ为$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）火星年约相当于$\frac{3\sqrt{6}}{4}$个地球年

点评 本题关键是明确探测器的向心力来源，根据牛顿第二定律列式求解，同时要注意在火星表面，重力等于万有引力．