Question

2．如图所示，在粗糙水平面内存在着2n个有理想边界的匀强电场区，物体与水平面间动摩擦因数为μ，水平向右的电场和竖直向上的电场相互间隔，电场宽度均为d．一个质量为2m、带正电的电荷量为q的物体（看作质点），从第一个向右的电场区域的边缘由静止进入电场，则物体从开始运动到离开第2n个电场区域的过程中，重力加速度为g．求：

（1）若每个电场区域场强大小均为E=$\frac{mg}{q}$，整个过程中电场力对物体所做总功？
（2）若每个电场区域场强大小均为E=$\frac{2mg}{q}$，求物体在水平向右电场区域中运动所需总时间？
（3）若物体与水平面间动摩擦因数为μ=$\frac{1}{4}$，第一电场区域场强的大小为E₁，且E₁=$\frac{mg}{q}$，之后每个电场区域场强大小均匀增大，且满足E₂-E₁=E₃-E₂=…=E_2n-E_2n-1．若物体恰好在第10个电场中做匀速直线运动，物体在第10个电场中运动速度？

Answer 1

分析 （1）在1、3、5、…电场中运动时，电场力做功，而在2、4、6、…电场中运动时，电场力与位移垂直，不做功；
（2）先根据动能定理列式求解末速度，再将粒子在水平向右运动过程中可看成连续向右做匀加速直线运动，根据动量定理列式求解加速时间；
（3）对整个过程运用动能定理列式求解末速度即可．

解答 解：（1）在竖直方向上电场中运动时，电场力不做功，水平向右电场中电场力做功，故电场力对物体所做的总功：W_电=nEqd=nmgd；
（2）若每个电场区域场强大小均为E=$\frac{2mg}{q}$，在第1、3、5、…电场中做匀加速直线运动；在第2、4、6、…电场中做匀速直线运动；
根据动能定理，得：${W_电}-{W_f}=\frac{1}{2}m{v^2}$，即2nmgd-2$nμmgd=\frac{1}{2}m{v^2}$，解得：v=$\sqrt{2（2-2μ）ngd}$；
带电粒子在水平向右运动过程中可看成连续向右做匀加速直线运动，
根据动量定理，有：（q•$\frac{2mg}{q}$-2μmg）t=2mv，
解得：t=$\sqrt{\frac{4nd}{（1-μ）g}}$
（3）由题意可知第10个电场中电场力等于重力，故电场强度E₁₀=$\frac{2mg}{q}$，
电场变化中等差数列公差等于$\frac{2mg}{9q}$，
全过程，动能定理，
qE₁d+qE₃d+…+qE₉d-μ2mg•5d-（μ（2mg-qE₂）d+μ（2mg-qE₄）d+…μ（2mg-qE₈）d）=$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{25}{6}gd}$；
答：（1）若每个电场区域场强大小均为E=$\frac{mg}{q}$，整个过程中电场力对物体所做总功为nmgd；
（2）若每个电场区域场强大小均为E=$\frac{2mg}{q}$，物体在水平向右电场区域中运动所需总时间为$\sqrt{\frac{4nd}{（1-μ）g}}$；
（3）物体在第10个电场中运动速度为$\sqrt{\frac{25}{6}gd}$．

点评 解决本题的关键知道物体在水平电场中做匀加速直线运动，在竖直电场中做匀速直线运动，结合牛顿第二定律、动能定理和运动学公式进行求解．