Question

7．如图所示，“9”字形内壁光滑的钢管轨道内径很小，轨道最高点C离底部高度H=1.2m，轨道上半部四分之三圆弧半径R=0.2m，管道出口端D的切线与水平传送带相切于Q点，Q、P是传送带水平部分的端点，QP长度L=3m，两传动轮的半径为r=0.1m．传送带以v=2m/s速度顺时针匀速传动．现有一个质量m=0.2kg可看成质点的物块A，以初速度v₀=12m/s从“9”字形轨道的底端射入，并在轨道出口端与停在此处质量与材料都与A相同的小物块B发生正碰，碰后粘在一起，滑上传送带，若两物块与传送带的动摩擦因数μ=0.5，g=10m/s²，求：
（1）滑块A在最高点C受到的弹力大小和方向；
（2）滑块A与B正碰后，刚滑上传送带时的速度大小；
（3）AB粘合体离开传送带右端后落地点到P轮轴心的水平距离．

Answer 1

分析 在滑块A滑到轨道最高点C的过程中，机械能守恒，求出滑块在最高点的速度，到达最高时，由重力和轨道对滑块的压力提供滑块的向心力，由牛顿第二、三定律求解滑块滑到轨道最高点C时对轨道作用力的大小和方向．
滑块A由C点运动到D点与B碰撞前过程，机械能守恒，求出碰后滑块的速度，根据碰撞瞬间AB动量守恒可求得刚滑上传送带时的速度大小；
物块离开传送带后做平抛运动，根据平抛运动规律可求解．

解答 解：（1）在滑块A滑到轨道最高点C的过程中，机械能守恒，有：
$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_c^2+mgH$…①
滑块A在C点有：$N+mg=\frac{mv_c^2}{R}$…②
解得：N=118N        
滑块受到向下的弹力      
（2）滑块A由C点运动到D点与B碰撞前过程，机械能守恒，有：$\frac{1}{2}mv_c^2+mg2R=\frac{1}{2}mv_D^2$…③
AB碰撞瞬间，动量守恒，有：mv_D+0=（m+m）v'…④
解得：$v'=4\sqrt{2}m/s$
（3）由于AB可能在离开传送带前与带速相同，故需判断
设AB在到达P点时已共速，它们的总质量为M，由动能定理有：$-Mgx=\frac{1}{2}M{v^2}-\frac{1}{2}M{v'^2}$…⑤
解得：x=2.8m＜3m
故假设成立，物块离开传送带的速度为v=2m/s         
由于物块在P轮最高点为圆周上的一个点，若刚好能在P最高点平抛
有：$Mg=\frac{Mv_P^2}{r}$…⑥
解得：${v_P}=\sqrt{rg}=1m/s＜v=2m/s$
故物块离开传送带后一定会做平抛运动，有：$H-2R=\frac{1}{2}g{t^2}$…⑦
S=vt…⑧
解得：S=0.8m
答：（1）滑块A在最高点C受到的弹力大小为118N，方向竖直向下；
（2）滑块A与B正碰后，刚滑上传送带时的速度大小为$4\sqrt{2}m/s$；
（3）AB粘合体离开传送带右端后落地点到P轮轴心的水平距离为0.8m

点评 题按程序进行分析，根据牛顿定律分析运动过程．对于圆周运动，根据机械能守恒和牛顿运动定律结合求力是常用的方法．