Question

6．质量均为m、电荷量均为q的粒子分别沿v₁和v₂的方向从磁场水平边界MN的O点进入磁场．已知负粒子的初速度v₁=v₀，与边界夹角α=30°，正粒子的初速度v₂=$\sqrt{3}$v₀，与边界夹角β=60°．磁场区域为磁感应强度大小B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．两个粒子同时到达磁场边界的A、B两点．不计粒子之间的相互作用和重力．

（1）求两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
（2）求两粒子进入磁场的时间间隔△t；
（3）若MN下方有平行于纸面的匀强电场，且两粒子在电场中相遇，其中的粒子1做直线运动．求电场强度E的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）作出两粒子的运动轨迹，由牛顿第二定律求出半径，结合几何知识求出d；
（2）根据公式t=$\frac{θ}{2π}$T求运动时间；
（3）由题意，电场强度的方向应与粒子1穿出磁场的方向平行，分为与粒子速度方向相同和相反两种情况进行讨论．

解答 解：（1）粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动：

根据牛顿第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子1圆周运动的圆心角θ₁=$\frac{5π}{3}$，$\overline{OA}$=2r₁sinθ₁             
粒子2圆周运动的圆心角θ₂=$\frac{2π}{3}$，$\overline{OB}$=2r₂sinθ₂ 
故d=$\overline{OA}$+$\overline{OB}$=2r₁sin30°+2r₂sin60°=$\frac{4m{v}_{0}}{Bq}$
（2）粒子圆周运动的周期为：T=$\frac{2πr}{v}$ 
粒子1在匀强磁场中运动的时间为：t₁=$\frac{{θ}_{1}}{2π}$T
粒子2在匀强磁场中运动的时间为：t₂=$\frac{{θ}_{2}}{2π}$T
所以有：△t=t₁-t₂=$\frac{πm}{3qB}$                                   
（3）由题意，电场强度的方向应与粒子1穿出磁场的方向平行．
a．若电场强度的方向与MN成30°角斜向右上，则粒子1做匀加速直线运动，粒子2做类平抛运动．
Eq=ma                          
$\overline{AB}$cos30°=v₁t+$\frac{1}{2}$at²+$\frac{1}{2}$at²  
$\overline{AB}$sin30°=v₂t                 
解得：E=$\sqrt{3}$Bv₀             
b．若电场强度的方向与MN成30°角斜向左下，则粒子1做匀减速直线运动，粒子2做类平抛运动．
Eq=ma
$\overline{AB}$cos30°=v₁t-$\frac{1}{2}$at²-$\frac{1}{2}$at² 
$\overline{AB}$sin30°=v₂t
解得：E=-$\sqrt{3}$Bv₀，假设不成立．                         
综上所述，电场强度的大小E=$\sqrt{3}$Bv₀，方向与MN成30°角斜向右上．  
答：（1）两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离是$\frac{4m{v}_{0}}{Bq}$；
（2）两粒子进入磁场的时间间隔是$\frac{πm}{3qB}$；
（3）若MN下方有平行于纸面的匀强电场，且两粒子在电场中相遇，其中的粒子1做直线运动．电场强度E的大小E=$\sqrt{3}$Bv₀，方向与MN成30°角斜向右上．

点评 本题是常见的带电粒子在磁场中和电场中运动的问题，画出轨迹，运用几何知识是处理带电粒子在磁场中运动问题的基本方法．