Question

20．如图（a）所示，竖直平面内有两个平行挡板AB、CD，挡板板长L为4m，两板间的距离d₂为2m，两板间有场强大小为$\frac{3}{14}$V/m的匀强磁场E₂，E₂的方向竖直向上，在AB板的下方还有另一竖直向上的匀强磁场E₁，E₁的场强大小为$\frac{39}{70}$V/m，AB板的正中间开有一小孔O，现有一带正电的粒子由正对小孔O的P点静止释放，OP距离d₁也为2m，带电粒子的质量为10^-3kg，电量为$\frac{14}{3}$×10^-2C，当粒子经过小孔O时，在ABCD间加上如图（b）所示的磁场，取磁场垂直于纸面向外为正方向，粒子经过O点开始计时，经过时间t垂直于磁场的右边界AD射出，粒子在运动过程中与挡板无碰撞（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：

（1）带电粒子到达O点的速度大小；
（2）若t=$\frac{7}{5}$T_B，求磁感应强度B₀的大小；
（3）若两板间距d₂为1m，磁感应强度B₀=$\frac{2}{7}$T，求T_B的大小（结果可以用反三角函数表达，例如cosθ=α，则θ=arccosα）．

Answer 1

分析 （1）从P到O，粒子在电场力和重力作用下，加速运动，根据动能定理可以求得到达O点的速度，这只是为下面两问作铺垫．
（2）由于粒子在三种场的作用下运动，由于重力恰与电场力平衡，相当于粒子只在洛仑兹力作用下做圆周运动，由题设条件知道粒子只转了半周就穿出板间．由半径公式就可求得磁感应强度．
（3）当板间距和板长均减半时，已知磁感应强度求出粒子在正负磁场中做圆周运动的半径，从而推理得出运动轨迹，即各转半周再垂直穿出板间．这样就可以求出总时间．

解答 解：（1）粒子从P到O点，据动能定理：
${E}_{1}q{d}_{1}-mg{d}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$     ①
代入数据得：v=8m/s  
（2）进入匀强电场E₂中后，由于电场力${E}_{2}q=1{0}^{-2}N$，而重力G=10^-2N，所以电场力与重力抵消．
那么在复合场中粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，当$t=\frac{7}{5}{T}_{B}$  时恰好垂直于AD穿出，即转过$\frac{1}{4}$圆周，则：
$q×3{B}_{0}v=\frac{m{v}^{2}}{{d}_{2}}$        ②
$t=\frac{1}{4}×\frac{2πm}{q×3{B}_{0}}$        ③
所以：${B}_{0}=\frac{2}{7}×1{0}^{-1}T$，${T}_{B}=\frac{5π}{14}s$
（3）若${B}_{0}=\frac{2}{7}T$，由上述结论粒子做匀速圆周运动的半径
${r}_{1}=\frac{mv}{3{B}_{0}q}=0.2m$    （正向磁场）
${r}_{2}=\frac{mv}{2{B}_{0}q}=0.3m$  （负向磁场）
粒子在正负磁场中各转半周后垂直AD射出，由于粒子做圆周运动的周期 
${T}_{1}=\frac{2π{r}_{1}}{v}=\frac{π}{2}×1{0}^{-1}s$，${T}_{2}=\frac{2π{r}_{2}}{v}=\frac{3π}{4}×1{0}^{-1}s$
由题意：${T}_{B}=\frac{1}{2}{T}_{1}+\frac{1}{2}{T}_{2}=\frac{5π}{8}×1{0}^{-1}s$
答：（1）带电粒子到达O点的速度大小为8m/s．
（2）若t=$\frac{7}{5}$T_B，磁感应强度B₀的大小$\frac{2}{7}×1{0}^{-1}T$．
（3）若两板间距d₂为1m，磁感应强度B₀=$\frac{2}{7}$T，T_B的大小是$\frac{5π}{8}×1{0}^{-1}s$．

点评 要说明的是本题有两个错误：①竖直向上的E₁和E₂是电场而不是磁场，题中出现笔误．②第三问两板间距变d₂为1m，必须板长L同时也要变化，否则粒子将打在上板上了．本题解法是按变化了的L来计算的．