Question

14．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆细管竖直放置，两个质量均为m的小球a、b，以不同的速率进入管内，若a球通过圆周最高点C，对管壁上部的压力为3mg，b球通过最高点C时，对管壁内侧下部的压力为0.75mg，重力加速度为g，求：
（1）a球通过圆周最高点C时速度v₁
（2）b球通过圆周最高点C时速度v₂
（3）a、b球落地点间的距离s．

Answer 1

分析 （1）、（2）对两个球分别受力分析，根据合力提供向心力，由牛顿第二定律求出两球通过C点的速度．
（3）两球通过C点后都做平抛运动，再据平抛运动的规律分别求出它们的水平距离，即可求出落地点间的距离s．

解答 解：（1）小球a在最高点C时，受重力和管壁向下的作用力，这两个力的合力作为向心力．
根据牛顿第二定律得：3mg+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=2$\sqrt{gR}$    ①
（2）b球通过C点时，受重力和管壁向上的支持力，由牛顿第二定律有：
  mg-0.75mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$    ②
（3）两球从最高点C离开后都做平抛运动，据平抛运动的规律得：
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$    ③
两球落地点间的距离 s=（v₁-v₂）t  ④
联立①②③④解得：s=3R
答：
（1）a球通过圆周最高点C时速度v₁是2$\sqrt{gR}$．  
（2）b球通过圆周最高点C时速度v₂是$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$．
（3）a、b球落地点间的距离s是3R．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的基本运用，知道圆周运动向心力的来源和平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．