Question

12．如图所示，用一长为L的轻绳连接两个质量均为m的物块，用手紧握着绳的中点，并使两物块绕绳的中点O在竖直面内做圆周运动，O点离地面的高度为L，若运动过程中，某时刻A在最高点时，B恰好在最低点．且此时A、B做圆周运动的角速度相等．重力加速度为g．
（1）求此时手对绳的作用力大小与方向；
（2）若此时刻连接B的绳突然断开，且断开的一瞬间手拉A绳的作用力为2mg，则绳断开后B物块落地点离O点的水平距离是多少？

Answer 1

分析 （1）对A、B两球分别根据向心力公式列式，拉力之差即手对绳的作用力；
（2）对A球根据向心力公式求出速度，绳断后B球做平抛运动，根据平抛运动的规律求解

解答 解：（1）在A点的物块，根据向心力公式有
$mg+{T}_{A}^{\;}=m{ω}_{\;}^{2}•\frac{L}{2}$①
在B点的物块，根据向心力公式，有
${T}_{B}^{\;}-mg=m{ω}_{\;}^{2}•\frac{L}{2}$②
联立①②$△T={T}_{B}^{\;}-{T}_{A}^{\;}=2mg$
此时手对绳的作用力大小2mg，方向竖直向上；
（2）断开的瞬间，对A球$mg+{T}_{A}^{′}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{\frac{L}{2}}$
因为${T}_{A}^{′}=2mg$
解得$v=\sqrt{\frac{3}{2}gL}$
绳断裂后做平抛运动，$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
得$t=\sqrt{\frac{L}{g}}$
B落地点与O的水平距离$x=vt=\sqrt{\frac{3gL}{2}}×\sqrt{\frac{L}{g}}=\frac{\sqrt{6}}{2}L$
答：（1）此时手对绳的作用力大小2mg与方向竖直向上；
（2）绳断开后B物块落地点离O点的水平距离是$\frac{\sqrt{6}}{2}L$

点评 本题综合考查了平抛运动和圆周运动，关键掌握平抛运动的规律以及做做圆周运动向心力的来源，难度适中．