Question

相距为L的光滑平行导轨与水平面成θ角放置，上端连电阻R，处在与所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B₀，电阻为r的导体MN（质量m）垂直导轨并在两导轨上，导体MN距离上端电阻R的距离也为L．（设B₀=1T，L=1m，θ=30°，m=0.1kg，R=0.8Ω，r=0.2Ω，g=10m/s²．）
（1）静止释放导体MN，求：
①MN获得的最大速度v_m．
②若MN沿斜面下滑0.2m时恰好获得最大速度，求在此过程中回路一共生热多少焦？
（2）设单位时间内磁感应强度增加量为k，磁感应强度初始值为B₀．现给一个平行斜面且垂直MN的外力（设沿斜面向上为外力的正方向），使导体MN始终静止在轨道上．写出外力F随时间t的变化关系式并画出F（沿斜面向上为正）随时间t的函数图象（k=1T/s）．

Answer 1

分析：（1）导体MN由静止释放，沿导轨向下做加速运动，当导体MN所受合力为零时，导体做匀速直线运动，速度达到最大，对导体进行受力分析，由平衡条件求出导体获得的最大速度；导体克服安培力做功转化为内能，由能量守恒定律可以求出回路产生的焦耳热．
（2）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出感应电流，由F=BIL求出安培力大小，由楞次定律判断出感应电流方向，由左手定值判断出安培力的方向，对导体受力分析，由平衡条件列方程求出拉力大小，然后作出图象．

解答：解：（1）①导体受力如图1所示，
安培力F_安=B₀IL=B₀

B0Lv

R+r

L=

B 2 0 L2v

R+r

，
导体MN由静止开始向下做加速度减小的加速运动，当导体所受合力为零时，速度达到最大v_m，由平衡条件得：mgsin30°=

B 2 0 L2vm

R+r

，
最大速度v_m=

mg(R+r)sin30°

B 2 0 L2

=0.5m/s；
②由能量守恒定律得：mgxsin30°=

1

2

mv_m²+Q，解得：Q=0.0875J；
（2）由题意知B=B₀+kt，由法拉第电磁感应定律得：
E=

△Φ

△t

=S

△B

△t

=kL²
安培力：F_安′=BIL=B

E

R+r

L=

kBL3

R+r

，
导体受力如图2所受，由平衡条件得：
mgsin30°+F=

kBL3

R+r

，F平行于斜面向下，
则：F=

kBL3

R+r

-mgsin30°=

k(B0+kt)L3

R+r

-mgsin30°，
平行于斜面向上为正方向，F平行于斜面向下，是负的，
F-t图象如图所示．
答：（1）①MN获得的最大速度v_m=0.5m/s；
②若MN沿斜面下滑0.2m时恰好获得最大速度，在此过程中回路产生的热量为0.0875J．
（2）外力F随时间t的变化关系式为：则F=

k(B0+kt)L3

R+r

-mgsin30°；F-t图象如图所示．

点评：在导体MN沿轨道下滑时，导体受到的安培力是变力，当安培力达到等于重力沿斜面向下的分力时，导体导体受到的合力为零，导体做匀速直线运动，速度达到最大．