Question

3．某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中．为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v₀竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开．忽略空气阻力．已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g．求：
（i）喷泉单位时间内喷出的水的质量；
（ii）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度．

Answer 1

分析 （i）喷泉单位时间内喷出的水的质量m=ρV求解；
（ii）玩具在空中悬停时，受力平衡，水对玩具的冲击力等于玩具的重力，根据运动学基本公式求得水上升到玩具处的速度，再根据动量定理列式求解即可．

解答 解：（i）喷泉单位时间内喷出的水的质量m=ρV=ρSv₀，
（ii）设水到达卡通玩具处的速度为v，玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度为h，
根据运动学基本公式得：${v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}=-2gh$，
水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，以向上为正，
根据动量定理得：
-Mgt=ρSv₀t（0-v）
联立解得：h=$\frac{{ρ}^{2}{S}^{2}{{v}_{0}}^{4}-{M}^{2}{g}^{2}}{2{ρ}^{2}{S}^{2}{{v}_{0}}^{2}g}$
答：（i）喷泉单位时间内喷出的水的质量为ρSv₀；
（ii）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度为$\frac{{ρ}^{2}{S}^{2}{{v}_{0}}^{4}-{M}^{2}{g}^{2}}{2{ρ}^{2}{S}^{2}{{v}_{0}}^{2}g}$．

点评 本题主要考查了动量定理与运动学基本公式的直接应用，知道玩具在空中悬停时，受力平衡，合力为零，另外注意水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，难度适中．