Question

3．一名宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量，做了如下实验：将一个小球从距该星球表面高度h处自由释放，测得小球从静止落到该星球上的时间为t，已知万有引力恒量为G，不计阻力，求：
（1）该星球的质量M；
（2）若在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行的最小周期T为多大？

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动规律求出星球表面的重力加速度，再根据重力等于万有引力求出星球的质量；
（2）根据万有引力提供向心力求出星球的近地卫星的周期即卫星运行的最小周期

解答 解：（1）根据自由落体运动规律$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
得$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
在星球表面物体重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（2）在该星球表面发射一颗卫星，轨道半径等于该星球的半径，周期最小
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$T=2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}=2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{2}}}}$=$2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}{t}_{\;}^{2}}{2h{R}_{\;}^{2}}}=2πt\sqrt{\frac{R}{2h}}$
答：（1）该星球的质量M为$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$；
（2）若在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行的最小周期T为$2πt\sqrt{\frac{R}{2h}}$

点评 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供