Question

11．光滑水平面上有一边长为L的正方形区域处在场强为E的匀强电场中，电场方向与正方形的一边平行．一质量为m、带电量为+q 的小球由某一边的中点、以垂直于该边的水平速度v₀进入正方形区域．当小球再次运动到该正方形区域的边缘时，具有的动能可能为多大？

Answer 1

分析 设正方形为ABCD，小球从AC中点进入电场．要考虑电场方向的可能性，电场可能平行于AB向左或向右，也可能平行于AC向上或向下．若平行于AB，将做加速或减速，若平行于AC，将做类平抛运动，然后根据动能定理求解．

解答 解：①若电场的方向平行于AB向左，小球所受的电场力向左，小球在匀强电场中做匀减速直线运动，若能达到BD端，
根据动能定理得：$-qEL={E}_{K}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
则到达另一端时的动能为：${E}_{K}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-qEL$．
若不能到达BD端，则又返回到AC段，电场力做功为零，则动能为：${E}_{K}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$．
②若电场的方向平行于AB向右，小球所受的电场力向右，小球在匀强电场中做匀加速直线运动，根据动能定理得：$qEL={E}_{K}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得到达BD端的动能为：${E}_{K}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+qEL$．
③若电场的方向平行于AC向上或向下，且都能从上下边缘射出，根据动能定理得：
$qE\frac{L}{2}={E}_{K}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得动能为：${E}_{K}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{1}{2}qEL$．
④若电场的方向平行于AC向上或向下，不能从上下边缘射出，而是从右边缘射出，在电场中的运动时间：
t=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
则偏转位移为：y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$，
根据动能定理得：$qEy={E}_{K}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得动能为：${E}_{K}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{{q}^{2}{E}^{2}{L}^{2}}{2m{{v}_{0}}^{2}}$．
答：①若电场的方向平行于AB向左，动能可能为${E}_{K}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-qEL$，或${E}_{K}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$．
②若电场的方向平行于AB向右，小球所受的电场力向右，动能${E}_{K}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+qEL$．
③若电场的方向平行于AC向上或向下，且都能从上下边缘射出，动能${E}_{K}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{1}{2}qEL$．
④若电场的方向平行于AC向上或向下，不能从上下边缘射出，而是从右边缘射出，动能${E}_{K}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{{q}^{2}{E}^{2}{L}^{2}}{2m{{v}_{0}}^{2}}$．

点评 解决本题的关键知道当速度与合力方向平行时，做直线运动，可能加速直线，也可能做减速直线；当速度与合力垂直时，做曲线运动，故存在多种情况，要分别讨论．