Question

14．我国将于2022年举办冬季奥运会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一，滑雪运动中当滑雪板压在雪地时会把雪内的空气逼出来，在滑雪板与雪地间形成一个暂时的“气垫”，从而大大减小雪地对滑雪板的摩擦．然而当滑雪板相对雪地速度较小时，与雪地接触时间超过某一值就会陷下去，使得它们间的摩擦力增大．假设滑雪者的速度超过4m/s时，滑雪板与雪地间的动摩擦因数就会由μ₁=0.25变为μ₂=0.125．一滑雪者从倾角θ=37°的坡顶A处由静止开始自由下滑，滑至坡底B（B处为一光滑小圆弧）后又滑上一段水平雪地，最后停在C处，如图所示，不计空气阻力，坡长L=26m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间；
（2）滑雪者到达B处的速度；
（3）滑雪者在水平雪地上运动的最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出滑雪者在斜坡上从静止开始加速至速度v₁=4m/s期间的加速度，再根据速度时间公式求出运动的时间．
（2）再根据牛顿第二定律求出速度大于4m/s时的加速度，球心速度为4m/s之前的位移，从而得出加速度变化后的位移，根据匀变速直线运动的速度位移公式求出滑雪者到达B处的速度．
（3）根据动能定理分别求出在水平面上速度减为4m/s之前的位移和速度由4m/s减小到零的位移，两个位移之和为滑行的最大距离．

解答 解：（1）设滑雪者质量为m，滑雪者在斜坡上从静止开始加速至速度v₁=4m/s期间，由牛顿第二定律有：mgsin37°-μ₁mgcos37°=ma₁，
解得：a₁=4m/s²，
故由静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间：$t=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=1s$；
（2）则根据牛顿定律和运动学公式有：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$，
mgsin37°-μ₂mgcos37°=ma₂，
x₂=L-x₁，${v}_{B}^{2}-{v}_{1}^{2}=2{a}_{2}{x}_{2}$，
代入数据解得：v_B=16m/s；
（3）设滑雪者速度由v_B=16m/s减速到v₁=4m/s期间运动的位移为x₃，速度由v₁=4m/s减速到零期间运动的位移为x₄，则由动能定理有：
$-{μ}_{2}mg{x}_{3}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，$-{μ}_{1}mg{x}_{4}=0-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，
所以滑雪者在水平雪地上运动的最大距离为：x=x₃+x₄=99.2m．
答：（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间为1s．
（2）滑雪者到达B处的速度为16m/s．
（3）滑雪者在水平雪地上运动的最大距离为99.2m．

点评 本题综合运用了牛顿第二定律、动能定理等规律，关键理清滑雪者的运动过程，正确地受力分析，运用牛顿定律或动能定理解题；对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁．