Question

9．我国计划在2017年发射“嫦娥四号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥四号离月球中心的距离为r，绕月周期为T．根据以上信息可求出（　　）

• A． “嫦娥四号”绕月运行的速度$\sqrt{\frac{{{r^2}g}}{R}}$
• B． “嫦娥四号”绕月运行的速度为$\sqrt{\frac{{{R^2}g}}{r}}$
• C． 月球的平均密度为$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• D． 月球的平均密度为$\frac{{3π{r^3}}}{{G{T^2}{R^3}}}$

Answer 1

分析 月球表面重力等于万有引力，绕月卫星的向心力由万有引力提供，据此列式分析即可

解答 解：AB、月球表面任意一物体重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，则有$GM={R}_{\;}^{2}g$①
“嫦娥四号”绕月运行时，万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$②
由①②得$v=\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{2}g}{r}}$，故A错误，B正确；
CD、“嫦娥四号”绕月运行时，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
月球的平均密度为：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$，故C错误，D正确；
故选：BD

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$和月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg=$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$两个公式的综合应用，注意轨道半径与星体半径的关系．