Question

8．如图所示，质量为M=4.0kg的长木板静止在粗糙水平面上，某时刻一质量为m=2.0kg的小木块（可视为质点），以v₀=10m/s的初速度从左端滑上长木板，同时用一水平向右的恒力F拉动长木板向右做加速运动，当小木块运动到长木板的最右端时，二者恰好相对静止，此时撤去恒力F，长木板在地面上继续运动一段距离L=4m时的速度为3m/s，已知长木板与小木块间的动摩擦因数μ₁=0.5，长本板与地面间动摩擦因数μ₂=0.2，加速度g=10m/s²．求：
（1）长木板的长度；
（2）作用在长木板上的恒力F大小；
（3）若小木块滑上长木板后，欲将长木板从小木块下抽出，则至少需要多大的力．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出撤去拉力后的加速度，结合速度位移公式求出物块与木板达到的共同速度，根据牛顿第二定律和运动学公式，结合相对位移的大小求出木板的长度，以及拉力的大小．欲将长木板从小木块下抽出，则二者达到共同速度时，二者位移相等．

解答 解：（1）设物块与木板达共同速度v_共后，物块与木板一起向右减速滑行，设此过程加速度大小为a，则：
a=$\frac{{μ}_{2}（M+m）g}{M+m}$=μ₂g=0.2×10=2m/s²．
${v}^{2}-{v}_{共}^{2}=-2aL$，
代入数据解得v_共=5m/s．
对物块，冲上木板后做加速度大小为a₁的匀减速运动，对木板，物块冲上后做加速度大小为a₂的匀加速运动，经时间t₁达共同速度v_共．
依题意对小物块有：
a₁=μ₁g=5m/s²，
v_共=v₀-a₁t₁，代入数据解得t₁=1s．
对木板：v_共=a₂t₁，解得a₂=5m/s²，
小物块的位移：x_物=$\frac{{v}_{0}+{v}_{共}}{2}$t₁=$\frac{10+5}{2}$×1m=7.5m，
平板车的位移：x_木=$\frac{{v}_{共}}{2}$t₁=$\frac{5}{2}$×1m=2.5m，
所以小车的长度L=x_物-x_木=7.5-2.5m=5m．
（2）由牛顿第二定律，F+μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂，
代入数据解得F=22N．
（3）欲将长木板从小木块下抽出，则对物块，冲上木板后先做加速度大小为a₁的匀减速运动，后做加速度大小为a₁的匀加速运动，对木板，物块冲上后做加速度大小为a₂的匀加速运动，后做加速度为a₃的匀加速运动到达共同速度前
依题意对小物块有：
a₁=μ₁g=5m/s²，v_共=v₀-a₁t₁
小物块的位移：x_物=$\frac{{v}_{0}+{v}_{共}}{2}$t₁
对木板：由牛顿第二定律，F+μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂，
v_共=a₂t₁
木板的位移：x_木=$\frac{1}{2}$a₂t₁²，
达到共同速度后，则
对小物块有：x_物′=v_共t₂+$\frac{1}{2}$at${\;}_{2}^{2}$
对木板：由牛顿第二定律，F-μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₃，
木板的位移：x_木′=${a}_{2}{t}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$
抽出的条件x_物总=x_木总
代入数据解得F=44N．
答：（1）木板的长度为5m；
（2）作用在平板车上的恒力F大小为22N，
（3）则至少需要44N．

点评 分析清楚滑块在每个过程的运动状态，根据物体的运动的过程来逐个求解，本题中用到了匀变速直线运动、平抛运动和圆周运动的规律，涉及的知识点较多，要求学生要熟练的应用每一部分的知识．