Question

13．某天体约是地球质量的32倍，半径越是地球半径的2倍，已知地球表面的重力加速度为9.8m/s²．求：
（1）该天体表面的重力加速度为多大？
（2）如果分别在该天体表面和地球表面以同样的初速度竖直上抛一物体，物体在该天体上上升的最大高度与在地球上上升的最大高度之比是多少？

Answer 1

分析 （1）根据星球表面重力与万有引力大小相等求得星球表面重力加速度的表达式，再根据表达式由星球质量和半径的关系求得重力加速度的大小；
（2）根据竖直上抛运动的规律求得上升的最大高度跟重力加速度的关系，再由（1）问的中重力加速度关系求得上升最大高度比．

解答 解：（1）在星球表面重力与万有引力大小相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，可得星球表面重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
可得该天体表面的重力加速度$g′=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{G•32{M}_{地}}{（2{R}_{地}）^{2}}=8\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}=8g$=8×9.8m/s²=78.4m/s²
（2）据竖直上抛运动规律可知，以v₀竖直上抛一物体，上升的最大高度h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
所以可知，$\frac{{h}_{星}}{{h}_{地}}=\frac{\frac{{v}_{0}^{2}}{2{g}_{星}}}{\frac{{v}_{0}^{2}}{2{g}_{地}}}=\frac{{g}_{地}}{{g}_{星}}=\frac{1}{8}$
答：（1）该天体表面的重力加速度为78.4m/s²；
（2）如果分别在该天体表面和地球表面以同样的初速度竖直上抛一物体，物体在该天体上上升的最大高度与在地球上上升的最大高度之比是1：8．

点评 本题抓住在星球表面重力与万有引力大小相等，根据半径与质量关系求解重力加速度的大小关系，能根据竖直上抛求得上升最大高度与重力加速度的大小关系．