Question

14．太阳系的行星都在绕太阳运转，我们把行星的运动简化为圆周运动如图，从水星凌日即水星和地球太阳在一条直线上开始计时，经过相同的时间，测量出水星和地球绕太阳运动的角度分别为θ₁和θ₂（均小于90度）．则由此可求得水星和地球（　　）

• A． 到太阳的距离之比
• B． 绕太阳运动的周期之比
• C． 绕太阳的动能之比
• D． 受到的太阳引力之比

Answer 1

分析 相同时间内水星转过的角度为θ₁；地球转过的角度为θ₂，可知道它们的角速度之比，绕同一中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可求出轨道半径比，以及向心加速度比．

解答 解：A、相同时间内水星转过的角度为θ₁；地球转过的角度为θ₂，可知道它们的角速度之比，$\frac{{ω}_{1}}{{ω}_{2}}=\frac{{θ}_{1}}{{θ}_{2}}$
根据万有引力提供向心力：G $\frac{Mm}{{r}^{2}}$═mrω²，
r=$\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$，知道了角速度比，就可求出轨道半径之比．故A正确．
B、相同时间内水星转过的角度为θ₁；地球转过的角度为θ₂，可知它们的角速度之比为θ₁：θ₂．周期T=$\frac{2π}{ω}$，则周期比为θ₂：θ₁．故B正确；
C、水星和地球作为环绕体，无法求出质量之比，所以不能求出它们的动能之间的关系．故C错误．
D、根据a=rω²，轨道半径之比、角速度之比都知道，很容易求出向心加速度之比，但由于无法求出质量之比，所以不能求出它们受到的万有引力之间的关系．故D错误．
故选：AB．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力：G $\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mrω²．以及知道要求某一天体的质量，要把该天体放在中心天体位置，放在环绕天体位置，被约去，求不出来．