Question

1．我国科学家将探月工程分为三阶段：第一阶段，无人探月；第二阶段，载人登月；第三阶段，建设月球基地与开发利用月球．2010年12月20日，中共中央、国务院和中央军委举行大会，庆祝中国探月工程嫦娥二号任务圆满成功．这意味着，中国探月工程第一阶段之“绕月”基本完成．中国计划最快2025年实现载人登月．到那时候我国宇航员可以在月球上进行一系列的物理实验．例如：在月球表面附近自h高处以初速度v₀水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L．已知月球半径为R，万有引力常量为G，不考虑月球自转影响．由以上的数据可求：
（1）月球的质量M
（2）若在月球表面附近上发射一颗卫星，求卫星绕月球做匀速圆周运动的周期T．

Answer 1

分析 根据平抛运动的规律求出月球表面的重力加速度，根据万有引力等于重力求出月球的质量，结合重力提供向心力求出近月卫星的周期．

解答 解：（1）设月球表面附近的重力加速度为g，
根据万有引力等于重力得
有$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，
又由于平抛，根据平抛运动的规律得
h=$\frac{1}{2}$gt²，L=v₀t
联立以上三式可得M=$\frac{{{2hv}_{0}^{2}R}^{2}}{{GL}^{2}}$，
（2）设卫星绕月球做圆周运动的周期为T，则$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
又因为M=$\frac{{{2hv}_{0}^{2}R}^{2}}{{GL}^{2}}$，

解得：T=$\frac{πL}{{v}_{0}h}$$\sqrt{2gh}$
答：（1）月球的质量是$\frac{{{2hv}_{0}^{2}R}^{2}}{{GL}^{2}}$；
（2）卫星绕月球做匀速圆周运动的周期$\frac{{{2hv}_{0}^{2}R}^{2}}{{GL}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力、以及万有引力提供向心力这两个理论，并能灵活运用．