Question

8．如图所示，倾角为θ=30°、足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L₁=0.4m，B₁=5T的匀强磁场垂直导轨平面向上．一质量m=1.0kg的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，其电阻r=1Ω．金属导轨上端连接右侧电路，R₁=1.5Ω，R₂=1.5Ω．R₂两端通过细导线连接质量M=0.6kg的正方形金属框cdef，正方形边长L₂=0.2m，每条边电阻r₀为1Ω，金属框处在一方向垂直纸面向里、B₂=5T的匀强磁场中．现将金属棒由静止释放，不计其他电阻及滑轮摩擦，g取10m/s²．

（1）若将电键S断开，求棒下滑过程中的最大速度．
（2）若电键S闭合，每根细导线能承受的最大拉力为3.4N，开始时线框竖直，上、下边水平，求细导线刚好被拉断时棒的速度．
（3）若电键S闭合后，从棒释放到细导线被拉断的过程中，棒上产生的电热为3.06J，求此过程中棒下滑的高度．

Answer 1

分析 （1）金属棒ab先加速下滑，加速度减小，后匀速下滑，速度达到最大．由欧姆定律、感应电动势和安培力公式推导出安培力的表达式，根据平衡条件求解最大速度．
（2）每根细导线能承受的最大拉力F_m=3.4N，根据平衡得出得出通过线框每条边的电流，并结合电路的特点以及切割产生的产生感应电动势公式即可解答；
（3）金属棒由静止开始下滑s的过程中，重力和安培力对棒做功，棒的重力势能减小转化为棒的动能和电路的内能，根据能量守恒列式可求出ab棒下滑的高度h．

解答 解：（1）棒下滑过程中，沿导轨的合力为0时，速度最大，有：
mgsin θ-F_安=0
F_安=B₁IL₁=$\frac{{{B}_{1}}^{2}{{L}_{1}}^{2}{v}_{m}}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}$，
代入数据解得：v_max=5 m/s
（2）闭合S后，设细导线刚断开时，通过金属框ef边电流为I′，则通过cd边的电流为3I′，则有：
2F_T-Mg-B₂I′L₂-3B₂I′L₂=0
代入数据解得：I′=0.2 A      
通过R₂的电流为：I₂=2I′=0.4A
电路总电流为：I₁=I₂+4I′=1.2A
金属框接入电路总电阻R_框=$\frac{3}{4}$Ω，R₂与R_框并联电阻为R′，R′═0.5Ω，
则总电阻为：R_总=3Ω，
设此时棒的速度为v₁，则有：I₁=$\frac{{B}_{1}{L}_{1}{v}_{1}}{{R}_{总}}$，
代入数据解得：v₁=1.8 m/s
（3）当棒下滑高度为h时，棒上产生的热量为Q_ab，R₁上产生的热量为Q₁，R₂与R框上产生的总热量为Q′，因为棒子电阻、R₁、R₂与R_框并联电阻之比为2：3：1，则产生的热量之比为2：3：1，
根据能量转化与守恒定律有：mgh=$\frac{1}{2}$$m{{v}_{1}}^{2}$+Q_ab+Q₁+Q′，
代入数据解得：h=1.08m．
答：（1）棒下滑过程中的最大速度为5m/s；
（2）细导线刚好被拉断时棒的速度为1.8m/s；
（3）此过程中棒下滑的高度为1.08m．

点评 本题考查了电磁感应与电路和力学、能量的综合运用，掌握切割产生的感应电动势公式、欧姆定律和安培力公式是解决本题的关键，对于第二问，容易出错，要理清串并联之间的关系，结合欧姆定律进行求解．