Question

17．如图所示，半径R=0.6m的光滑半圆细环竖直放置并固定在水平桌面上，环上套有质量为1kg的小球甲，用一根细线将小球甲通过两个光滑定滑轮B、D与质量为2kg的小物体乙相连，滑轮的大小不计，与半圆环在同一竖直平面内，它们距离桌面的高度均为h=0.8m，滑轮B恰好在圆环最高点C点的正上方．初始时将甲拉至半圆环左边最低点A处，然后将甲、乙由静止开始释放，求：
（1）在整个运动过程中，当乙在最低点时甲离桌面的高度；
（2）当甲、乙速度大小相等时甲离桌面高度；
（3）当甲、乙速度大小相等时环对甲的作用力大小（结果保留两位小数）．

Answer 1

分析 （1）乙到达最低点时，甲到达最高点C，由机械能守恒定律可以求出高度；
（2）当连接甲球的细线与圆环相切时，甲、乙速度相等，根据几何关系求解甲距离水平桌面的高度；
（3）对系统运用动能定理或机械能守恒定律求出甲、乙速度相等时的速度大小，然后由牛顿第二定律求出作用力．

解答 解：（1）当甲到达最高点C时乙到达最低点，此时，甲离桌面的高度：h₁=R=0.6m；
（2）当连接甲球的细线与圆环相切时，甲、乙速度相等，此时甲球到达A'点，离开桌面的距离为d，
根据几何关系得：L_BA′=$\sqrt{{h}^{2}-{R}^{2}}$=$\sqrt{0．{8}^{2}-0．{6}^{2}}$=0.53m，
 解得：d=$\frac{{R}^{2}}{h}$=$\frac{0．{6}^{2}}{0.8}$=0.45m；
（3）由几何知识可知：L_BA=$\sqrt{{h}^{2}+{R}^{2}}$=$\sqrt{0．{8}^{2}+0．{6}^{2}}$=1m，
由机械能守恒可得：m_乙g（L_AB-L_AB′）-m_甲gd=$\frac{1}{2}$（m_甲+m_乙）v_甲²，
代入数据解得：v_甲=1.81m/s，
由牛顿第二定律得：G_y-N=m_甲$\frac{{v}^{2}}{R}$，代入数据解得：N=2.05N；
答：（1）在整个运动过程中，当乙在最低点时甲离桌面的高度为0.6m；
（2）当甲、乙速度大小相等时甲离桌面高度为0.45m；
（3）当甲、乙速度大小相等时环对甲的作用力大小为2.05N．

点评 本题以系统为研究对象，运用动能定理，注意甲运动到C点时，乙的速度为零，当连接甲球的细线与圆环相切时，甲、乙速度相等．