Question

11．一气缸竖直放在水平地面上，其活塞质量m=2kg，活塞横截面积S=1×10^-3m²，活塞上面的气缸内封闭了一定质量的理想气体，下面有气孔O与外界相通，大气压强p₀=1.0×10⁵Pa，活塞下面与劲度系数k=1×10³N/m的轻弹簧相连，当气缸内气体温度为27℃时弹簧为自然长度，此时缸内气柱长度L₁=20cm，g取10m/s²，缸体始终竖直，活塞不漏气且与缸壁无摩擦，求当缸内气柱长度L₂=24cm时，缸内气体温度为多少？

Answer 1

分析 当汽缸内气体温度为27℃时弹簧为自然长度，当缸内气柱长度L₂=24cm时，对活塞受力分析．根据平衡条件和理想气体状态方程求解．

解答 解：初态弹簧长度为自然长度时，对活塞受力分析，受到重力，大气向上的压力，封闭气体对活塞向下的压力，根据平衡条件得：
${p}_{1}^{\;}S+mg={p}_{0}^{\;}S$
得${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}-\frac{mg}{S}$=$1.0×1{0}_{\;}^{5}-\frac{20}{1×1{0}_{\;}^{-3}}=0.8×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
末态时缸内气体长度${L}_{2}^{\;}=24cm$，弹簧压缩$△x={L}_{2}^{\;}-{L}_{1}^{\;}=24-20=4cm$
对活塞受力分析，受到重力、封闭气体对活塞向下的压力，弹簧向上的弹力，向上的大气压力，根据平衡条件得：
$mg+{p}_{2}^{\;}S=k△x+{p}_{0}^{\;}S$
解得：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{k△x-mg}{S}$=$1.0×1{0}_{\;}^{5}+\frac{1.0×1{0}_{\;}^{3}×4×1{0}_{\;}^{-2}-20}{1×1{0}_{\;}^{-3}}$=$1.2×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
对封闭气体根据理想气体状态方程，有
$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入数据：$\frac{0.8×1{0}_{\;}^{5}×20S}{300}=\frac{1.2×1{0}_{\;}^{5}×24S}{{T}_{2}^{\;}}$
解得：${T}_{2}^{\;}=540K$
答：缸内气体温度为540K

点评 能用静力学观点确解决问题．要注意研究过程中哪些量不变，哪些量变化，结合理想气体状态方程求解