Question

2．如图所示，xOy平面为一光滑水平面，在此区域内有平行于xOy平面的匀强电场，同时有垂直于xOy平面的匀强磁场．一质量m、电荷量q带负电粒子从坐标原点O以一定的初动能入射，在电场和磁场的作用下发生偏转，到达P （4，3）点时，动能变为初动能的0.5倍．此时撤去磁场，经过一段时间该粒子经过y轴上的M（0，6.25）点，动能变为初动能的0.625倍，求：
（1）粒子从O到P与从P到M的过程中电场力做功的大小之比；
（2）OP连线上与M点等电势的点的坐标；
（3）匀强电场方向如何？

Answer 1

分析 （1）粒子运动过程中，洛伦兹力不做功，只有电场力做功，根据动能定理求解．
（2）根据电势差的定义式求出O点与P点、M点间的电势差．由公式U=Ed，求出OD，由数学知识可得解．
（3）根据电场线与等势线垂直，即可判断电场强度的方向．

解答 解：（1）设粒子在P点时的动能为E_k，据题有其初动能为2E_k，在M点的动能为0.625×2E_k=1.25E_k．
由于洛伦兹力不做功，设粒子从O点到P点和从P点到M点的过程中，电场力做的功大小分别为W₁、W₂
由动能定理得：
-W₁=E_k-2E_k
  W₂=1.25E_k-E_k
则  W₁：W₂=4：1                       
（2）O点和P点及M点的电势差分别为：U_OP=$\frac{{E}_{k}}{q}$，U_OM=$\frac{0.75{E}_{k}}{q}$
设OP连线上与M点电势相等的点为D，由几何关系得OP的长度为5m，
沿OP方向电势降低．则：$\frac{{U}_{OD}}{{U}_{OP}}$=$\frac{{U}_{OM}}{{U}_{OP}}$=$\frac{OD}{OP}$=$\frac{0.75}{1}$
得OD=3.75m，OP与x轴的夹角α，则：sinα=$\frac{3}{5}$
D点的坐标为 x _D=ODcosα=3 m，y_D=ODsinα=2.25m
即：D （3 m，2.25 m）
（3）由于OD=3.75 m  而OMcos∠MOP=3.75 m  所以MD垂直于OP
由于MD为等势线，因此OP为电场线，方向从O到P．
答：
（2）粒子从O到P与从P到M的过程中电场力做功的大小之比是4：1；
（2）OP连线上与M点等电势的点的坐标是（3 m，2.25 m）；
（3）匀强电场方向从O到P．

点评 本题是带电粒子在复合场中运动的类型，画出磁场中运动轨迹，电场中运用运动的分解都是常规方法，要能灵活运用几何知识求解磁场中空间尺寸．