Question

11．如图所示，截面为直角梯形的固定平台上有一位置可以移动的光滑的四分之一圆弧轨道，轨道的半径R=0.8m，圆弧最底点B点切线水平，在平台的左侧光滑斜面上，有一长度等于斜面长的轻弹簧放在斜面上，下端固定在斜面下端的挡板上，斜面的倾角为θ=37°．将四分之一圆弧轨道移到适当的位置，让一质量为m=0.5kg的小球从圆弧轨道的最高点A由静止释放沿圆弧轨道滚下，从B点抛出后做平抛运动，刚好从斜面的顶端D与斜面无碰撞地压在轻弹簧的上端，并将轻弹簧沿斜面向下最大压缩了x₀=0.3m，重力加速度g=10m/s²．
（1）B点和D点到圆弧轨道底面左侧C点的距离分别为多少？
（2）弹簧具有的最大弹性势能为多少？

Answer 1

分析 （1）先根据机械能守恒定律求出小球滑到B点的速度．小球离开B点后做平抛运动，根据分位移公式列式，结合小球到达D点时速度平行于斜面，得到分速度的关系，联立解答．
（2）对整个过程，运用机械能守恒定律求弹簧具有的最大弹性势能．

解答 解：（1）小球沿圆弧轨道滚下过程，由机械能守恒定律得
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
据题，小球刚好从斜面的顶端D与斜面无碰撞地压在轻弹簧的上端，说明小球到达D点时速度与斜面平行向下，则有
  tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{B}}$
可得 v_y=v_Btan37°=4×$\frac{3}{4}$m/s=3m/s
设B点和D点到圆弧轨道底面左侧C点的距离分别为h和s．
则 h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{{3}^{2}}{2×10}$=0.45m
由v_y=gt得 t=0.3s
因此有 x=v_Bt=4×0.3m/s=1.2m
（2）对整个过程，根据机械能守恒定律得：
弹簧具有的最大弹性势能为  E_p=mg（R+h+x₀sin37°）=0.5×10×（0.8+0.45+0.3×0.6）J=7.15J
答：
（1）B点和D点到圆弧轨道底面左侧C点的距离分别为0.45m和1.2m．
（2）弹簧具有的最大弹性势能为7.15J．

点评 解决本题的关键要掌握平抛运动的研究方法：运动的分解法，明确隐含的条件：D点的速度平行于斜面向下．