Question

3．已知某星球的半径为R，且不考虑该星球的自转，万有引力常数G已知．求：
（1）若在该星球表面高h（h＜＜R）处自由释放一个小球（可视质点）小球经过t时间落地，则该星球的密度为多少？
（2）若某一卫星在离该星球表面H高度绕该星球做匀速圆周运动且运动的周期为T，则该星球的密度为多少？

Answer 1

分析 （1）物体在星球表面做自由落体运动，其加速度即为星球表面的重力加速度，根据自由落体规律求得星球表面的重力加速度，再依据星球的质量与体积，即可求解星球的密度；
（2）由万有引力提供向心力，求星球的质量，再求其密度．

解答 解：（1）物体在星球表面做自由落体运动，设星球表面的重力加速度为g，由自由落体运动规律，有：
h=$\frac{1}{2}$gt²…①
解得：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$ …②
依据重力等于引力，则有：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
根据密度公式：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$
（2）某一卫星在离该星球表面H高度绕该星球做匀速圆周运动且运动的周期为T，
根据引力提供向心力，则有：$\frac{GMm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+H）…③
星球的平均密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$ …④
联立解得：ρ=$\frac{3π（R+H）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
答：（1）则该星球的密度为$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）则该星球的密度为$\frac{3π（R+H）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

点评 掌握由自由落体求重加速度的方法，能根据向心力等于万有引力，求中心天体的质量是常用的方法，同时还可以由重力等于引力，求解中心天体的质量，是卡文迪许“称量地球质量”的原理．