Question

（20分）一根杆以恒定的角速度ω绕竖直轴旋转，杆与轴的夹角为（90⁰－α）。质量为m的质点可以沿杆滑动，摩擦系数为μ 。求转动过程中，质点保持在同一高度的条件（如图所示）。

Answer 1

解析：我们发现，采用所谓“滑动摩擦角”概念是有用的。如果滑动摩擦系数等于某一角度的正切值，就称这个角ε为“滑动摩擦角”（如解图1所示），即tan ε＝μ

我们必须求出把物体压向平台的合力。如果合力与平面法线之间的夹角在滑动摩擦角之内，则摩擦力大到足以阻止运动。极限情形是合力与摩擦角的一臂重合。

对于本题，当我们寻找质点在旋转杆上向上滑动的极限情况时，合力应位于（α＋ε）角的双臂内（如图2所示）。 

   

把质点压在杆上的力是重力mg与mω²r＝mω²Lcosα的合力。故质点在向上滑动的极限情形下，角（α＋ε）的正切为。同理，质点向下滑动的极限情形可用角（α＋ε）的正切得到。于是，如果则质点在旋转杆上处于平衡。

从边界条件可以看出，存在着一个较高位置（L_f）和一个较低位置（L_a），质点在这两位置之间的任何地方将处于随遇平衡状态。在这两边界之外，质点无法平衡，质点将向上或向下滑动。随遇平衡位置L_f－L_a可由边界条件导出：

图3对不同的α角，画出质点在杆上哪些部分处于随遇平衡，（取ω＝10 s^-1，μ＝0.268，ε＝15⁰）。虚线表示无摩擦时质点非稳定平衡位置。