Question

8．经过近7年时间，2亿千米在太空中穿行后，美航天局和欧航天局合作研究出“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族．这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测．若“卡西尼”号土星探测器进入环绕土星上空的圆轨道飞行，已知土星半径为R，探测器离土星表面高度为h，环绕n周飞行时间为t，求：
（1）土星的质量M；
（2）若在土星上发射一颗卫星，至少需要多大的速度？

Answer 1

分析 （1）探测器绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，求出探测器运行的周期．由土星的万有引力提供探测器的向心力列方程求出土星的质量．
（2）“卡西尼”绕土星表面匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力G$\frac{{M}_{土}m}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，化简可得土星卫星的最小速度．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力为：
G$\frac{{M}_{土}m}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{（\frac{t}{n}）^{2}}$（R+h）
解得：M_土=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$；
（2）“卡西尼”绕土星表面匀速圆周运动：G$\frac{{M}_{土}m}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
所以最小速度：v=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{R{t}^{2}}}$；
答：（1）土星的质量为$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$．
（2）若在土星上发射一颗卫星，至少需要的速度为$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{R{t}^{2}}}$．

点评 本题题目看似很长，要耐心读题，抓住要点，建立物理模型：探测器绕土星做匀速圆周运动，土星的万有引力提供向心力．