Question

10．如图，真空中竖直放置两块平行金属板P，Q，两板间加上电压，在紧靠P板处有一粒子源，可连续释放出初速为零的粒子，经电场加速后从Q板的小孔O水平射出，已知粒子的质量为m，电量为+q，不计粒子的重力，在Q板右侧有一半径为R的$\frac{1}{4}$圆周光屏MN，圆心正好在O点，OM方向水平．
（1）若在Q板右侧加上垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，粒子经磁场偏转后打在光屏上的A点，∠MOA=α，求金属板PQ间的电压大小；
（2）若金属板PQ间的电压可调，使O点飞出的粒子速度为任意不同的数值，且将上问中Q板右侧的匀强磁场改为方向竖直向下的匀强电场，场强为E，则打在光屏上的粒子的最小动能是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子先经电场加速，然后进入磁场做匀速圆周运动，已知偏转角，由几何关系求出半径，从而求出速度，也就求出了加速电场的电压．
（2）加速电压变化，从而进入偏转电场的速度也就变化，而粒子做类平抛运动又打在一个圆弧上，求最小的动能．先由动能定理列出打在圆弧上动能表达式，把类平抛规律代入就得到一个关于速度的式子，当取不同速度时，由数学不等式性质，就能求出最小值．

解答 解：（1）如图，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，圆心为O′，设圆周运动的   半径为r，粒子从
  O点飞出的速度为v，有
  $r=\frac{R}{2sinα}$
  由洛仑兹力提供向心力可得$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
  又由电场中加速运动运用动能定理，$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
  将上面的方程联立，可得金属板间的电压：$U=\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{8msi{n}^{2}α}$
（2）设打在光屏上的粒子在电场E中竖直方向的位移为y，水平位移为x，由动能定理：
   $qEy={E}_{k}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
  而又由运动学方程，有
  $y=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×{t}^{2}$，x=vt，x²+y²=R²
  联立以上几式得：${E}_{k}=Eqy+\frac{1}{2}m{v}^{2}=Eq×\frac{1}{2}×\frac{Eq}{m}×（\frac{x}{v}）^{2}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$≥2$\sqrt{\frac{{E}^{2}{q}^{2}{x}^{2}}{2m{v}^{2}}×\frac{1}{2}m{v}^{2}}$=Eqx  
   结合题意在圆周上，当x=y=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$时有最小值，则最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}EqR$
答：（1）若在Q板右侧加上垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，粒子经磁场偏转后打在光屏上的
  A点，∠MOA=α，金属板PQ间的电压大小为$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{8msi{n}^{2}α}$．
（2）若金属板PQ间的电压可调，使O点飞出的粒子速度为任意不同的数值，且将上问中Q板右侧的匀
  强磁场改为方向竖直向下的匀强电场，场强为E，则打在光屏上的粒子的最小动能是$\frac{\sqrt{2}}{2}EqR$．

点评 本题有点怪的是第二问：加速电场变化，偏转电场不变，但粒子打击的位置满足在一个圆弧上，速度大，则有可能位移大，但偏转电场力做功小，所以折中考虑当x=y=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$时，动能有最小值．