Question

20．如图所示，一个有底无盖的圆柱形桶，底面质量不计，桶侧面质量为a，桶的重心在中轴线上的正中间位置，装满水后水的质量为b．
（1）若b=3a，水装到一半，求系统合重心到桶底面的距离与桶的高度之比；
（2）装入水的质量m为多少时，水和桶合重心最低？

Answer 1

分析 （1）合重心在两个分质心的连线上，离双方的距离与双方质量成反比；则可求得合重心的高度；
（2）根据题意列出重心与水质量之间的函数关系，由数学规律可求得最低点．

解答 解：（1）设桶高h，合重心到桶底的高度为y，则有：
y=$\frac{a•\frac{h}{2}+\frac{b}{2}•\frac{h}{4}}{a+\frac{b}{2}}$=$\frac{7}{20}$h
故系统合重心到桶底面的距离与桶的高度之比为$\frac{7}{20}$
（2）设水质量为m时合重心离底面高为y，则有：
y=$\frac{a•\frac{h}{2}+m•\frac{x}{2}}{a+m}$=$\frac{h}{2b}$$•\frac{ab+{m}^{2}}{a+m}$=$\frac{h}{2b}$•$\frac{（a+m）^{2}-2a（a+m）+{a}^{2}+ab}{a+m}$=$\frac{h}{2b}$[（a+m）+$\frac{{a}^{2}+{ab}^{\;}}{a+m}$-2a]
则由数学规律可得：当m=$\sqrt{{a}^{2}+ab}$-a时合重心最低；
答：（1）若b=3a，水装到一半，求系统合重心到桶底面的距离与桶的高度之比为$\frac{7}{20}$；
（2）装入水的质量m为$\sqrt{{a}^{2}+ab}$-a时，水和桶合重心最低．

点评 本题考查合重心问题，要注意明确合重心与分质心之间的关系，同时注意数学规律的正确应用；题目属于较早版本的物理课本中知识，对现在来说难度较大．