Question

8．近年来，随着对火星的了解越来越多，人类已经开始进行移民火星的科学探索．2013年2月，荷兰一家名为“火星一号”的公司宣布计划在2023年把四名宇航员送上火星，在目前收到的37000多个报名意向中，中国人达到了45个．回答下列问题：
（1）设航天器从地球表面起飞后做加速度为$\frac{1}{2}$g、竖直向上的匀加速直线运动，上升到某一高度时，仪器显示人对水平座椅的压力为起飞前的$\frac{17}{18}$，求此时飞船离地球表面的高度h（不考虑地球的自转，地球的半径为R，表面的重力加速度为g）；
（2）若登陆火星后，测得火星半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，火星质量是地球质量的$\frac{1}{9}$，求火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值．

Answer 1

分析 以测试仪器为研究对象，根据牛顿第二定律求出某一高度处的重力加速度，再由重力等于万有引力，应用比例法求解火箭离地面的高度．
根据万有引力提供向心力求出第一宇宙速度的关系，在求其比值．

解答 解：（1）飞船起飞前，人对水平座椅的压力
${F}_{压}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
在距离地面高度为h时，地球对人的万有引力
$F=G\frac{M{m}_{0}}{（R+h）^{2}}$
设此时水平座椅对人的支持力为F₁，则
${F}_{1}-F={m}_{0}\frac{g}{2}$
又根据${F}_{1}=\frac{17}{18}{F}_{压}$
可得：h=$\frac{R}{2}$
（2）根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
则有：$\frac{v′}{v}=\frac{\sqrt{\frac{GM′}{R′}}}{\sqrt{\frac{GM}{R}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$
答：（1）此时飞船离地球表面的高度h为$\frac{R}{2}$．
（2）火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 通过物理规律把进行比较的物理量表示出来，再通过已知的物理量关系求出问题是选择题中常见的方法．把星球表面的物体运动和天体运动结合起来是考试中常见的问题．