题目内容
17．
如图所示，倾角θ=37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为m=1kg的物体A和B用一劲度系数k=240N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P挡住，用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆的夹角α=53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零，图中SD水平且长度为d=0.2m，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行．现让环C从位置R由静止释放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s2．求：（1）小环C的质量M；
（2）小环C通过位置S时的动能Ek及环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功WT；
（3）小环C运动到位置Q的速率vQ．
分析 （1）先以AB组成的整体为研究对象，求出绳子的拉力，然后以C为研究对象进行受力分析，即可求出C的质量；
（2）由几何关系求出绳子RD段的长度，再以B为研究对象，求出弹簧的伸长量，以及后来的压缩量，最后根据机械能守恒定律求出C的速度、动能；由动能定理求出轻绳对环做的功WT；
（3）由机械能守恒定律即可求出C的速度．
解答 解：（1）先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力．支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为：
T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N
以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图，则：
T•cos53°=Mg
代入数据得：M=0.72kg
（2）考虑到本题中弹簧有不同的形变量，所以需要先计算不同情况下弹簧的形变量，然后判断出是否需要使用弹簧的弹性势能的表达式．
所以需要先计算出弹簧开始时的形变量．
由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态；产生B沿斜面方向的受力：
F1=mgsinθ=1×10×sin37°=6N
弹簧的伸长量：△x1=$\frac{{F}_{1}}{k}$=$\frac{6}{240}$m=0.025m
由题图中的几何关系可知：$\overline{RD}$=$\overline{QD}$=$\frac{\overline{SD}}{sinα}$=$\frac{d}{sin53°}$=$\frac{0.2}{0.8}$m=0.25m
所以C由R点运动到S点的过程中，弹簧将缩短：x=$\overline{RD}-\overline{SD}$=0.25-0.20=0.05m＞0.025m
可知弹簧将由开始时的伸长状态变成压缩状态，压缩量：△x2=x-△x1=0.05-0.025=0.025m=△x1
由于弹簧的压缩量等于弹簧开始时的伸长量，所以当C运动到S点时，弹簧的弹性势能与开始时的弹性势能是相等的．而A下降的距离等于弹簧缩短的距离x，即0.05m．
在C从R点运动到S点的过程中，C受到的重力、A受到的重力对A与C组成的系统 做功．当C到达S点时，C沿绳子方向的分速度是0，所以A的速度是0，A与C减小的重力势能转化为C的动能，由机械能守恒定律得：
Mg•$\overline{RS}$+mg•x•sinθ=$\frac{1}{2}$M${v}_{1}^{2}$
代入数据求得环C的动能：Ek=$\frac{1}{2}$M${v}_{1}^{2}$=1.38J
环下降的过程中重力和绳子的拉力对环做功，由动能定理得：
Mg•$\overline{RS}$+WT=Ek
代入数据得：WT=0.3J
（3）结合第二步的分析可知，当环到达Q点时，由于$\overline{RD}$=$\overline{QD}$，所以，物体A恰好又回到了开始时的位置，弹簧的长度又回到了最初的长度，所以环从R到S的过程中，只有环的重力势能减小，其他的物体的势能保持不变！
对环在Q点的速度进行分解如下图，则：
由图可知，物体A上升的速度即沿绳子方向的速度，是环C的一个分速度，它们之间的关系：
$\frac{{v}_{A}}{{v}_{Q}}$=cosα=cos53°=0.6
所以：vA=0.6vQ
由功能关系：Mg•$\overline{RQ}$=$\frac{1}{2}$M${v}_{Q}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入数据解得：vQ=2m/s
答：（1）小环C的质量M是0.72kg；
（2）小环C通过位置S时的动能Ek是1.38J，环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功WT是0.3J；
（3）小环C运动到位置Q的速率是2m/s．
点评 本题考查动能定理以及功能关系的应用，解题的关键在于第二问，要注意在解答的过程中一定要先得出弹簧的弹性势能没有变化的结论，否则解答的过程不能算是完整的．
| A． | 曲线运动速度的方向可能不变 | |
| B． | 曲线运动速度大小一定是变化的 | |
| C． | 曲线运动一定是变速运动 | |
| D． | 曲线运动的速度大小和方向一定同时改变 |
一质量为2kg的物体沿水平面作直线运动，其v-t图象如图所示，下列选项中正确的是（ ）| A． | 前6 s内，合外力对物体做功为64 J | |
| B． | 在3 s-5 s内，质点的平均速度为4 m/s | |
| C． | 在前6 s内，质点离出发点的最远距离为28 m | |
| D． | 质点在第5 s末的加速度为0 |
如图所示，光滑曲面轨道的水平出口与停在光滑水平面上的平板小车上表面相平，小车上表面不光滑，质量为m的小滑块从光滑轨道上某处由静止开始滑下并滑上小车，使得小车在水平面上滑动．已知小滑块从高为H的位置由静止开始滑下，最终停到小车上．若小车的质量为M，重力加速度为g，求：
一汽缸竖直放在水平地面上，缸体质量M=10kg，活塞质量m=4kg，活塞横截面积S=2×10-3m2，活塞上面的汽缸内封闭了一定质量的理想气体，下面有气孔O与外界相通，大气压强P0=1.0×105Pa；活塞下面与劲度系数k=2×103M/m的轻弹簧相连；当汽缸内气体温度为127℃时弹簧为自然长度，此时缸内气柱长度L1=20cm，g取10m/s2，缸体始终竖直，活塞不漏气且与缸壁无摩擦．
A、B两物体的质量之比mA：mB=2：1，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其速度图象如图所示．那么，A、B两物体所受摩擦阻力之比FA：FB与A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比WA：WB分别为（ ）| A． | 2：1 4：1 | B． | 4：1 2：1 | C． | 1：4 1：2 | D． | 1：2 1：4 |
在方向水平向右，大小E=1×104N/C的匀强电场中，用细线将质量m=4×10-3kg的带电小球P悬挂在O点，小球静止时细线与竖直方向夹角θ=37°（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
| A． | 甲、丁两车做曲线运动，乙、丙两车做直线运动 | |
| B． | t1时刻甲、乙车相遇，但0～t1时间内甲车通过的路程大于乙车通过的路程 | |
| C． | t2时刻丙丁两车相距最远，但0～t2时间内丙、丁两车的平均速度相等 | |
| D． | t1时刻甲车速度小于乙车，t2时刻丙车加速度大于丁车 |