Question

10．无限长通电螺线管内部的磁场可认为是匀强磁场（外面磁场可视为零），其大小为B=kI（I为螺线管所通电流，不同的螺线管，k值不同）．现有两个螺线管1和2，同轴放置（轴在O处），如图所示，其中1的半径为a，2的半径为b（大于2a）．在1中通以电流I₁=I₀十2t（电流随时间t变化），产生的磁场为B₁=2kI₁，2中通以电流I₂=3t，产生的磁场为B₂=kI₂．且两个磁场同向．现在P处放一个半径为r的圆形导线框，圆心亦在O处．则：
（1）线框中产生的感应电动势多大？（不考虑感应电流对磁场的影响）
（2）感应电动势就是单位电荷在感应电场力的作用下沿线框移动一周（感应电场）电场力的功，由此可以求出线框P所在的位置感应电场E的大小，那么E为多大？
（3）现撤去线框P，在距O为r处（线框处）放一个静止的点电荷（电荷量为q，质量为m，不考虑其重力），从t=0时刻释放，该电荷恰好以半径r做圆周运动，试求r的值．

Answer 1

分析 1、根据电磁感应定律?=$\frac{△∅}{△t}$，2、根据电场力做功与电势能的关系求解  3、根据运动学求出加速度、速度，再根据洛伦兹力提供向心力求解

解答 解：（1）根据题意，I₁=I₀十2t，产生的磁场为B₁=2kI₁，
即B₁=2kI₁=2kI₀+4kt
2中通以电流I₂=3t，产生的磁场为B₂=kI₂．即B₂=3kt
则穿过线框P的磁通量为：∅=πa²B₁+πr²B₂=2πa²kI₀+πk（4a²+3r²）t
根据电磁感应定律有：?=$\frac{△∅}{△t}$=πk（4a²+3r²）
（2）、感应电动势就是单位电荷在感应电场力的作用下沿线框移动一周（感应电场）电场力的功为：
?=2πrE 
即：E=$\frac{?}{2πr}$=$\frac{k（4{a}^{2}+3{r}^{2}）}{2r}$
（3）、速度为：v=at=$\frac{qE}{m}t$
根据洛伦兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
联立解得：r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
答：（1）线框中产生的感应电动势πk（4a²+3r²）
（2）感应电动势就是单位电荷在感应电场力的作用下沿线框移动一周（感应电场）电场力的功，由此可以求出线框P所在的位置感应电场E的大小，那么E为$\frac{k（4{a}^{2}+3{r}^{2}）}{2r}$
（3）从t=0时刻释放，该电荷恰好以半径r做圆周运动，r的值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$

点评 考查了电磁感应定律的运用，磁场的叠加原理，应用公式时注意公式适用条件和公式中各个物理量的含义