题目内容
如图所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A、B两球静止．由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动．已知A球的质量为mA，B球的质量为mB，杆长为L．则：（1）A球着地时的速度为多大？
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为多大？
（3）若mA=mB，当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大？A球机械能的最小值为多大？（选水平面为参考平面）
分析：（1）在运动的过程中，系统机械能守恒，A球着地时，B球的速度为零，根据系统机械能守恒定律求出A球着地时的速度大小．
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．根据平衡求出水平面对B球的支持力大小．
（3）根据系统机械能守恒结合A、B速度的关系求出B的速度与杆与竖直方向夹角的关系，结合数学求导的方法求出B的速度最大时，即A的机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值，以及求出A球机械能的最小值．
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．根据平衡求出水平面对B球的支持力大小．
（3）根据系统机械能守恒结合A、B速度的关系求出B的速度与杆与竖直方向夹角的关系，结合数学求导的方法求出B的速度最大时，即A的机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值，以及求出A球机械能的最小值．
解答：解：（1）A球着地时，B球的速度为0．
设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得 mAgL=
mAv2
解得 v=
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．
设小球受到的支持力为N，对B球受力分析可得 N=mBg
（3）设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为vB，此时A球的速度为vA，则mAgL(1-cosθ)=
mAvA2+
mBvB2
且vA和vB沿杆方向上分速度大小相等，即 vAcosθ=vBsinθ
联立解得 vB=
令y=（1-cosθ）cos2θ，当y的导数y?=0时，A球机械能最小，vB达最大值，即sinθcos2θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得cosθ=
vA=
则A球机械能的最小值 EAmin=mAgLcosθ+
mAvA2=
答：（1）A球着地时的速度为v=
．
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为 N=mBg．
（3）当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为
，A球机械能的最小值为
．
设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得 mAgL=
| 1 |
| 2 |
解得 v=
| 2gL |
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．
设小球受到的支持力为N，对B球受力分析可得 N=mBg
（3）设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为vB，此时A球的速度为vA，则mAgL(1-cosθ)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
且vA和vB沿杆方向上分速度大小相等，即 vAcosθ=vBsinθ
联立解得 vB=
| 2gL(1-cosθ)cos2θ |
令y=（1-cosθ）cos2θ，当y的导数y?=0时，A球机械能最小，vB达最大值，即sinθcos2θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得cosθ=
| 2 |
| 3 |
vA=
| ||
| 9 |
则A球机械能的最小值 EAmin=mAgLcosθ+
| 1 |
| 2 |
| 23mAgL |
| 27 |
答：（1）A球着地时的速度为v=
| 2gL |
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为 N=mBg．
（3）当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为
| 2 |
| 3 |
| 23mAgL |
| 27 |
点评：解决本题的关键知道A、B组成的系统在运动的过程中机械能守恒．知道当B的速度最大时，A的机械能最小．
练习册系列答案
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