Question

3．蹦床比赛分成预备运动和比赛动作．最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段．把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F=kx（x为床面下沉的距离，k为常量）．质量m=50kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x₀=0.10m；在预备运动中，假定运动员所做的总功W全部用于其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为△t=2.0s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x₁．取重力加速度g=10m/s²，忽略空气阻力的影响．
（1）求常量k，并在图中画出弹力F随x变化的示意图；
（2）求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度h_m；
（3）借助F-x图象可以确定弹性做功的规律，在此基础上，求x₁和W的值．

Answer 1

分析 （1）根据胡克定律求出劲度系数，抓住弹力与形变量成正比，作出弹力F随x变化的示意图．
（2）根据竖直上抛运动的对称性，求出人在空中下落的时间，根据自由落体运动的位移时间公式求出运动员离开床面后上升的最大高度．
（3）根据图线围成的面积表示弹力做功，得出弹力做功的表达式，根据动能定理求出弹力做功，从而求出x₁的值．

解答 解：（1）根据胡克定律得，mg=kx₀，解得 k=$\frac{mg}{{x}_{0}}$=$\frac{500}{0.1}$=5000N/m．
F随x的变化示意图如图所示．

（2）根据竖直上抛运动的对称性，知运动员下落的时间为1s．
则上升的最大高度 h_m=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×{1}^{2}$=5m．
（3）人静止时弹性势能 $\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$=25J
运动员与弹簧接触时的速度 v=gt=10m/s．
以弹簧面为参考面，根据动能定理得 $\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$-mgx₀+W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
人从最高处5m下落到最低处：$\frac{1}{2}$kx₁²=mg（h+x₁）
联立两式解得 x₁=$\frac{\sqrt{101}+1}{10}$m≈1.1m．
W=2525J．
答：
（1）常量k=5000N/m，弹力F随x变化的示意图如图所示．

（2）运动员离开床面后上升的最大高度为5m．
（3）x₁和W的值分别为1.1m和2525J．

点评 解决本题的关键知道运动员在整个过程中的运动情况，结合运动学公式、动能定理等知识进行求解．