Question

3．如图所示，AOB是光滑水平轨道，BC是半径为R的光滑的$\frac{1}{4}$固定圆弧轨道，两轨道恰好相切于B点．质量为M的小木块静止在O点，一个质量为m的子弹以某一初速度水平向右射入小木块内，并留在其中和小木块一起运动，且恰能到达圆弧轨道的最高点C（木块和子弹均可以看成质点）．求：
（1）子弹射入木块前的速度；
（2）若每当小木块返回到O点或停止在O点时，立即有相同的子弹射入小木块，并留在其中，则当第9颗子弹射入小木块后，小木块沿圆弧轨道能上升的最大高度为多少？

Answer 1

分析 （1）由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出初速度；
（2）由动量守恒定律与机械能守恒定律求出最大高度．

解答 解：（1）根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}=（M+m）gR$，
解得：v=$\sqrt{2gR}$，
子弹射入木块的过程中，对子弹和木块组成的系统研究，规定向右为正方向，根据动量守恒得：
mv₀=（M+m）v，
解得：${v}_{0}=\frac{（M+m）\sqrt{2gR}}{m}$．
（2）由动量守恒定律可知，第2、4、6…颗子弹射入木块后，木块的速度为0，
第1、3、5…颗子弹射入后，木块运动．当第9颗子弹射入木块时，以子弹初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=（9m+M）v₉，
设此后木块沿圆弧上升的最大高度为H，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}（9m+M）{{v}_{9}}^{2}=（9m+M）gH$
由以上各式可得：H=$（\frac{M+m}{M+9m}）^{2}R$．
答：（1）子弹射入木块前的速度为$\frac{（M+m）\sqrt{2gR}}{m}$；
（2）小木块沿圆弧轨道能上升的最大高度为$（\frac{M+m}{M+9m}）^{2}R$．

点评 本题考查了求速度与木块上升的高度问题，分析清楚物体运动过程、应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．