Question

4．有一块半径为R=60cm的均匀薄木板，现在从圆板上挖出一个半径为r=30cm的内切薄圆板，如图所示，则剩余部分的重心与大圆心的距离是10cm．

Answer 1

分析 设金属片厚为h，密度为ρ，假设剩余部分的重心还在O点不变，则必须在大圆上的对称位置再挖去一个与原来等大的小圆孔，由于左边挖去一个半径为30的小圆孔，必须在它的对应位置（左边）填上一个半径为30的小圆孔，再设挖空后的圆片的重心在C点，经过一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以C为支点的杠杆，如图丙，由杠杆平衡的条件可得：G′O₂O=GOC，求出OC的长即可．

解答 解：①设金属片厚为h，密度为ρ，（如图甲）
假设剩余部分的重心还在O点不变，则必须在大圆上的对称位置再挖去一个与原来等大的小圆孔，
则剩下的部分重力为：G=πR²hρg-2π•（$\frac{R}{2}$）²Hρg=$\frac{1}{2}$πR²ρg=450πhρg，
②（如图乙）
由于左边挖去一个半径为15的小圆孔，必须在它的对应位置（左边）填上一个半径为15的小圆孔，
则它的重力为：G′=π（$\frac{R}{2}$）²hρg=225πhρg，重心在O₂上，且OO₂=30，
设挖空后的圆片的重心在C点，经过一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以C为支点的杠杆，
如图丙，由杠杆平衡的条件可得：G′O₂C=GOC，
即：225πhρg•（30-OC）=450πhρgOC，
解得：OC=10cm．
故答案为：10．

点评 本题考查的圆的综合题目，用得到的知识点有重心的性质、重力公式以及一元一次方程的应用，解题的关键是利用数形结合的数学方法经过一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以C为支点的杠杆．