Question

4．已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g，一天时间记为T，卫星质量为m．已知万有引力势能公式，其中M为地球质量，r为卫星到地心距离．求：
（1）同步轨道卫星环绕地球的飞行速度；
（2）从地球表面发射同步轨道卫星时的最小初速度（考虑地球自转的影响）．

Answer 1

分析 卫星在离地高度为H处环绕地球做匀速圆周运动，据万有引力提供向心力，列出等式，根据根据在地面附近物体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，列出等式，两等式结合求解．
从地球表面发射同步轨道由能量守恒列出等式求解．

解答 解：（1）卫星在离地高度为H处环绕地球做匀速圆周运动，据万有引力提供向心力，列出等式：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r
根据根据在地面附近物体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，列出等式：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
ω=$\frac{2π}{T}$，
解得：r=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$，
v=ωr=$\root{3}{\frac{2π{gR}^{2}}{T}}$，
（2）从地球表面发射同步轨道由能量守恒列出等式：
$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{GMm}{R}$-$\frac{GMm}{r}$
v₀=$\sqrt{-g{R（\frac{{4π}^{2}R}{{gT}^{2}}）}^{\frac{1}{3}}+2gR}$
考虑到地球的自转，最小发射速度u=v₀-v_自=$\sqrt{-g{R（\frac{{4π}^{2}R}{{gT}^{2}}）}^{\frac{1}{3}}+2gR}$-$\frac{2πR}{T}$
答：（1）同步轨道卫星环绕地球的飞行速度是$\root{3}{\frac{2π{gR}^{2}}{T}}$；
（2）从地球表面发射同步轨道卫星时的最小初速度是$\sqrt{-g{R（\frac{{4π}^{2}R}{{gT}^{2}}）}^{\frac{1}{3}}+2gR}$-$\frac{2πR}{T}$．

点评 向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．
运用黄金代换式GM=gR²求出问题是考试中常见的方法．
本题考查了多个知识点的应用，要能根据求解的问题选择恰当的物理规律求解．