Question

某同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳恰好达到所能承受的最大拉力F而断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为手与球之间的绳长为

3

4

d，重力加速度为g．忽略手的运动、小球的半径和空气阻力，试分析求解：
（1）绳断时球的速度大小v₁；
（2）球落地时的速度大小v₂；
（3）绳能承受的最大拉力F；
（4）改变绳长，使球重复上述运动．若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，则绳长应为多少？最大水平距离为多少？

Answer 1

分析：（1）绳断后小球做平抛运动，根据平抛运动的规律即可求解绳断时球的速度大小v₁．
（2）绳子断裂后，小球做平抛运动，由动能定理或机械能守恒定律可以求出小球落地时的速度大小v₂．
（3）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小．根据向心力公式即可求解；
（4）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v₃，绳承受的最大推力不变，根据圆周运动向心力公式及平抛运动的规律结合数学知识即可解题．

解答：解：（1）绳断后．小球做平抛运动，
竖直方向上：h=d-

3

4

d=

1

4

d=

1

2

gt²，
水平方向上：d=v₁t，
解得：v₁=

2gd

；
（2）绳子断裂后小球做平抛运动，只有重力做功，机械能守恒，
由机械能守恒定律得：

1

2

mv₁²+mg（d-

3

4

d）=

1

2

mv₂²，
解得：v₂=

5 2 gd

；
（3）球做圆周运动的半径：R=

3

4

d，
小球做圆周运动，由牛顿第二定律得：F-mg=m

v 2 1

R

，
解得，绳子能承受的最大拉力：F=

11

3

mg；
（4）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v₃，绳承受的最大拉力不变，
由牛顿第二定律得：F-mg=m

v 2 3

l

，解得：v₃=

8 3 gl

，
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，
竖直方向：d-l=

1

2

gt′²，水平方向：x=v₃t′，
解得：x=4

l(d-l) 3

，
当l=

d

2

时，x有极大值，最大值：x_max=

2 3

3

d；
答：（1）绳断时球的速度大小为

2gd

；
（2）球落地时的速度大小为

5 2 gd

；
（3）绳能承受的最大拉力为

11

3

mg；
（4）绳长为

d

2

时，水平位移最大，最大水平距离为

2 3

3

d．

点评：本题主要考查了圆周运动向心力公式及平抛运动的规律的应用，并能结合数学知识解题．