Question

9．自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m₁和m₂的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比，这个力称为万有引力．其表达式为F=$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$．，G为引力常量．
（1）设一卫星绕天体做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，求天体的质量；
（2）若天体的半径为R，求天体的密度．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出天体的质量．
根据天体的体积和质量求出天体的密度．

解答 解：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m₁和m₂的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比，表达式为F=$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$．
（1）根据万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得天体的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）天体的密度为：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．
故答案为：乘积，二次方，F=$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$．
（1）天体的质量为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）天体的密度为$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，注意根据该理论只能求出中心天体的质量．