Question

8．如图所示，倾角 θ=37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮 D，质量均为m=1kg 的物体A和B用一劲度系数k=240N/m 的轻弹簧连接，物体 B 被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板 P 挡住．用一不可伸长的轻绳使物体 A 跨过定滑轮与质量为 M 的小环 C 连接，小环 C 穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环 C 位 于 Q 处，绳与细杆的夹角 α=53°，且物体 B 对挡板 P 的压力恰好为零．图中 SD 水平且长度 为 d=0.2m，位置 R 与位置 Q 关于位置 S 对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行．现 让环 C 从位置 R 由静止释放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s²．
求：
（1）小环 C 的质量 M；
（2）小环 C 通过位置 S 时的动能 E_k及环从位置 R 运动到位置 S 的过程中轻绳对环做的功 W_T；
（3）小环 C 运动到位置 Q 的速率 v．

Answer 1

分析 （1）该题中，共有ABC三个物体与弹簧组成一个系统，受力的物体比较多，可以先以AB组成的整体为研究对象，求出绳子的拉力，然后以C为研究对象进行受力分析，即可求出C的质量；
（2）由几何关系求出绳子RD段的长度，再以B为研究对象，求出弹簧的伸长量，以及后来的压缩量，最后根据机械能守恒定律求出C的速度、动能；由动能定理求出轻绳对环做的功W_T；
（3）由机械能守恒定律即可求出C的速度．

解答 解：（1）先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力．支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为：
T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N
以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图，则：

T•cos53°=Mg
代入数据得：M=0.72kg
（2）由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态；产生B沿斜面方向的受力：
F₁=mgsinθ=1×10×sin37°=6N
弹簧的伸长量：△x₁=$\frac{mgsinθ}{k}$=0.025m
当小环 C 通过位置 S 时A下降的距离为：${x}_{A}=\frac{d}{sinα}-d=0.05m$
此时弹簧的压缩量为：△x₂=x_A-△x₁=0.025m
由速度分解可知此时A的速度为零，所以小环C从R运动到S的过程中，初末态的弹性势能相等，对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒有：
Mgdcotα+mgx_Asinθ=E_k
代入数据解得：E_k=1.38J
环从位置 R 运动到位置 S 的过程中，由动能定理可知：W_T+Mgdcotα=E_k
代入数据解得：W_T=0.3J
（3）环从位置 R 运动到位置 Q 的过程中，对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒
 $Mg•（2dcotα）=\frac{1}{2}M{v}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$     
对环在Q点的速度进行分解如下图，则：v_A=vcosα

两式联立可得：v=2m/s
答：（1）小环C的质量是0.72kg；
（2）小环C通过位置S时的动能E_k是1.38J，环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功是0.3J；
（3）小环C运动到位置Q的速率是2m/s

点评 本题考查动能定理以及功能关系的应用，解题的关键在于第二问，要注意在解答的过程中一定要先得出弹簧的弹性势能没有变化的结论，否则解答的过程不能算是完整的．