Question

16．跳伞运动员从h=2000m的高空跳下，开始下落过程中未打开降落伞，假设初速度为零，所受的空气阻力与下落速度的大小成正比，最大降落速度v_m=50m/s．运动员下降h₁=1800m时才打开降落伞，在t₂=2s内速度均匀减小到v₁=5.0m/s，然后匀速落到地面，求运动员在空中运动的总时间t．

Answer 1

分析 整个过程中，运动员先做变加速运动，接着匀减速，最后匀速运动，作出v-t图线如图（1）所示．由于第一段内 做非匀变速直线运动，用常规方法很难求得这1800m位移内的运动时间．考虑动量定理，将第一段的v-t图线按比例转化成f-t图，如图（2）所示，则可巧妙地求得变加速运动的时间．根据匀变速运动的规律求出匀减速运动的位移，得到匀速运动的位移，求得匀速运动的时间，即可求得总时间．

解答 解：设变加速下落的时间为t₁，作出运动员的v-t图象，取向下为正方向，则由动量定理得：
   mgt₁-I_f=mv_m
而  I_f=∑f•△t=∑kv•△t=k∑v•△t=kh₁
又mg=kv_m，得k=$\frac{mg}{{v}_{m}}$，所以可得
 mgt₁-$\frac{mg{h}_{1}}{{v}_{m}}$=mv_m
得${t}_{1}=\frac{{v}_{m}}{g}+\frac{{h}_{1}}{{v}_{m}}$=$\frac{50}{10}+\frac{1800}{50}s=41s$．
第二段匀减速运动的2s时间内，位移为 ${h}_{2}=\frac{{v}_{m}+{v}_{1}}{2}{t}_{2}=\frac{50+5}{2}×2m=55m$，
所以匀速运动的位移为 h₃=200-h₂=200-55=145m，
匀速运动的时间${t}_{3}=\frac{{h}_{3}}{{v}_{1}}=\frac{145}{5}s=29s$，
则总时间t=t₁+t₂+t₃=41+2+29s=72s．
答：运动员在空中运动的总时间t为72s．

点评 解决本题的关键知道运动员在整个过程中的运动情况，结合动量定理，通过图象法，运用微分思想进行解决，难度较大．